Cosseno

Razões trigonométricas e cálculo

O termo cosseno tem origem na metade do século XVII e foi elaborado por europeus que escreviam em latim. Antes da denominação que recebe hoje, o cosseno era intitulado como apenas um complemento do seno.

Além do seno e tangente, o cosseno é uma das funções angulares que fazem parte do estudo matemático de trigonometria.

As funções trigonométricas

Antes de abordarmos os cálculos e os conceitos do cosseno é fundamental relembrar a definição da trigonometria e do triângulo retângulo.

A trigonometria é um dos ramos de estudo da matemática que tem como objetivo estudar as relações entre as medidas dos ângulos e dos segmentos.  A palavra vem do grego “trigono” (triangular) e “metria” (medida).

O objetivo consiste em resolver cálculos das medidas dos lados ou dos ângulos do triângulo retângulo (forma geométrica com ângulo de 90°).  As funções trigonométricas do triângulo são denominadas como: seno, cosseno e tangente

Veja as seguintes definições de cada um:

O seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa.

Fórmula da função seno.
Fórmula da função seno.

O cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

Fórmula função cosseno.
Fórmula função cosseno.

A tangente de um ângulo é a razão do cateto oposto e a medida do cateto adjacente.

Fórmula da função tangente.
Fórmula da função tangente.

O triângulo retângulo

O triângulo retângulo é uma forma geométrica plana considerada por matemáticos como um dos mais importantes dentro das figuras bidimensionais. Ele possui as seguintes composições:

Hipotenusa: o maior lado de um triângulo. Fica oposto ao ângulo reto.

Catetos: são os dois outros lados perpendiculares entre si.

Considere a seguinte imagem abaixo:

o triângulo retângulo na trigonometria
Representação triângulo retângulo (foto: Wikipédia)

Ao considerar o triângulo retângulo ABC, observe que:

  • BA é a hipotenusa
  • AC e CB são os catetos

O teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é assim chamado em homenagem ao matemático e filósofo Pitágoras de Samos (570 a.C. – 495 a.C.). Foi ele quem desenvolveu a teoria que aborda a relação entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo.

A teoria é definida da seguinte forma:

“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.

Portanto, chegou-se na seguinte fórmula matemática:

a²=b²+c²

Obs.: o teorema de Pitágoras pode ser aplicado em qualquer triângulo retângulo.

Cosseno: definição

Como já vimos, o cosseno pode ser definido como uma função trigonométrica cujo ângulo corresponde ao cateto adjacente sobre a hipotenusa. Portanto recebe a seguinte forma de representação:

função trigonométrica cosseno
O triângulo retângulo (foto: Guia Estudo)

Tabela do cosseno

O grego Hiparco de Niceia, por volta do ano de 140 a.C, relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Considerado como um dos maiores astrônomos do mundo, ele foi o responsável em desenvolver a tabela de valores trigonométricos dos ângulos de 0° a 90°.

Confira abaixo os valores dos ângulos notáveis (30°, 45° e 60°). 

Tabela cosseno
Tabela trigonométrica cosseno

Função cosseno

O cosseno é positivo no 1º e 4º quadrantes e, por sua vez, no 2º e 3º quadrantes correspondem aos valores negativos.

Obs.: Vale lembrar que no primeiro e segundo quadrante a função f é decrescente e, no terceiro e quarto quadrantes, a função f é crescente.

Tem-se portanto:

Quadrantes da função cosseno
Variável de sinal da função cosseno (foto: Guia Estudo)

Domínio da função cosseno corresponde ao conjunto dos números reais. A imagem por sua vez, corresponde ao intervalo real [-1,1] ou -1 ≤ cos x ≤ 1. O período é o mesmo que a função do seno, ou seja:  cosseno é:

Período da função
Período da função cosseno

Valores notáveis do cosseno

Veja abaixo a tabela correspondente aos valores notáveis do cosseno.

Valores notáveis
Valores notáveis do cosseno

Gráfico da função cosseno

O gráfico da função cosseno é chamado de cossenoide. Veja abaixo a seguinte representação:

Gráfico da função cosseno.
Gráfico da função cosseno. (Foto: Guia Estudo)

Por meio da lei dos cossenos é possível resolver questões trigonométricas quando não trata-se de um triângulo retângulo (que possui ângulo de 90°). Portanto, usa-se essa lei para resolver cálculos de um triângulo qualquer.

a² =  b² + c²  – 2ab CosA

b²  = a²  + c²  – 2ac CosB

c² = a² + b² – 2ac CosC

Tabela da razão Trigonométrica

Grau (°) Seno Cosseno Tangente
1 0,0175 0,9998 0,0175
2 0,0349 0,9994 0,0349
3 0,0523 0,9986 0,0524
4 0,0698 0,9976 0,0699
5 0,0872 0,9962 0,0875
6 0,1045 0,9945 0,1051
7 0,1219 0,9925 0,1228
8 0,1392 0,9903 0,1405
9 0,1564 0,9877 0,1584
10 0,1736 0,9848 0,1763
11 0,1908 0,9816 0,1944
12 0,2079 0,9781 0,2126
13 0,2250 0,9744 0,2309
14 0,2419 0,9703 0,2493
15 0,2588 0,9659 0,2679
16 0,2756 0,9613 0,2867
17 0,2924 0,9563 0,3057
18 0,3090 0,9511 0,3249
19 0,3256 0,9455 0,3443
20 0,3420 0,9397 0,3640
21 0,3584 0,9336 0,3839
22 0,3746 0,9272 0,404026
23 0,3907 0,9205 0,4245
24 0,4067 0,9135 0,4452
25 0, 4226 0,9063 0,4663
26 0,4384 0,8988 0,4877
27 0,4540 0,8910 0,5095
28 0,4695 0,8829 0,5317
29 0,4848 0,8746 0,5543
30 0,5000 0,8660 0,5774
31 0,5150 0,8572 0,6009
32 0,5299 0,8480 0,6249
33 0,5446 0,8387 0,6494
34 0,5592 0,8290 0,6745
35 0,5736 0,8192 0,7002
36 0,5878 0,8090 0,7265
37 0,6018 0,7986 0,7536
38 0,6157 0,7880 0,7813
39 0,6293 0,7771 0,8098
40 0,6428 0,7660 0,8391
41 0,6561 0,7547 0,8693
42 0,6691 0,7431 0,9004
43 0,6820 0,7314 0,9325
44 0,6947 0,7193 0,9657
45 0,7071 0,7071 1,0000

De olho na prova

A trigonometria é um assunto recorrente nos vestibulares e no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). Por isso é importante que o candidato esteja atento a todo o conteúdo, além de realizar exercícios e revisões para fixar o assunto.

Para obter um bom resultado na prova de matemática é necessário revisar o teorema de Pitágoras que está ligado com o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Esse tema não é só evidente na trigonometria, mas também na geometria plana, espacial e analítica, assuntos também recorrestes nos exames.

Outro fator importante é revisar os conceitos do triângulo retângulo e sua composição (hipotenusa e os catetos). É indispensável ainda realizar exercícios que abordam os ângulos notáveis (30°, 45° e 90°) e as leis do seno e cosseno. Resolva também provas dos anos anteriores.

Confira aqui exercícios sobre a lei do cosseno:

As funcionalidades da trigonometria

Para que serve a trigonometria? Essa pode ser uma das indagações de quem estuda assuntos sobre o cosseno ou toda a área da trigonometria. Por isso, é importante entender a aplicabilidade do assunto.

O estudo da trigonometria não está relacionado apenas ao ensino da matemática. Mas é aplicado em vários seguimentos na atualidade. Como, por exemplo: ramos da engenharia, astronomia, geografia, química, física, biologia, dentre outros.

É também utilizado nos estudos voltados para as funções periódicas, sendo eles: ondas sonoras e luminosas, pois usa-se cálculos das funções trigonométricas seno e cosseno.  Já na astronomia são desenvolvidas aplicações de trigonometria para estimar a distância de corpos celestes como as estrelas. 

No âmbito da engenharia, por sua vez, para obter-se o cálculo da altura de um prédio, usa-se a função seno.  Esse cálculo também serve para conseguir a altura de uma árvore, um poste, dentre outros. Veja abaixo outras áreas que a trigonometria é aplicada:

  • Economia
  • Engenharia elétrica
  • Engenharia mecânica
  • Engenharia civil
  • Geografia
  • Cartografia
  • Cristalografia
  • Meteorologia
  • Oceanografia
  • Navegação
  • Sismologia (estudo dos abalos físicos, ou seja, terremotos)
  • Farmácia
  • Biologia
  • Medicina (Ultrassom e tomografia)
  • Química
  • Geodésia
  • Teoria do números (Criptologia)
  • Computação gráfica
  • Arquitetura
  • Topografia (estudo da forma dos relevos)

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

ALVES, Jéssica. Cosseno; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/cosseno >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 17:52.

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