Distância entre dois pontos

É a medida do segmento de uma reta que liga o ponto A ao ponto B

A distância entre dois pontos consiste em uma medida considerada no plano cartesiano que liga um ponto A qualquer a um outro ponto B a determinada distância.

Sendo, como o próprio nome diz, a medida do segmento de reta que os une, o cálculo dessa medida é feito por meio das operações matemáticas da área da geometria.

No plano cartesiano, de maneira geral, essa distância é obtida através do par ordenado (x, y) associado a este plano.

A distância entre dois pontos, além de outros mecanismos matemáticos, pode ser obtida calculando ou medindo o comprimento do segmento de reta que os compõem, fazendo uma ligação.

O cálculo mais eficaz para determinar essas distâncias é realizado a partir de uma fórmula capaz de determinar a distância entre dois pontos usando suas coordenadas do plano, com dito anteriormente.

Ao considerar os pontos A (xA, yA) e B(xB, yB), a fórmula é expressa da seguinte forma:

Fórmula importante para medir a distância entre dois planos
Fórmula da distância entre dois pontos.

Distância entre dois planos no plano cartesiano

A melhor forma de verificar essa distância é através da aplicação da sua fórmula. Para demonstrá-la, é necessário marcar os pontos A (xA, yA) e B (xB, yB), respectivamente, no plano cartesiano.

A partir disso, basta construir o segmento de reta que forma a ligação no plano. Para evitar erros é preciso lembrar que deve ser considerada a menor distância entre eles (os ponto A e B).

Representação gráfica da distâncias entre os pontos A e B
Representação dos pontos marcados no plano. (Foto: Guia Estudo)

Na figura mostrada acima, os pontos A e B foram marcados com destaque para suas coordenadas nos eixos x e y, respectivamente.

Ao marcar essas coordenadas, foi construído, consequentemente, o triângulo ABC, que é um triângulo retângulo e sua hipotenusa é o segmento formado pelos pontos AB.

Logo, para encontrar o comprimento desse segmento pode-se utilizar a aplicação do Teorema de Pitágoras. Antes disso, entretanto, é preciso conhecer o comprimento dos segmentos AC e BC, que são os catetos desse triângulo.

Detalhando: o segmento AC mede xB – xA, e o segmento BC tem a medida equivalente a yB – yA. No Teorema de Pitágoras, segue a resolução:

Como o comprimento do segmento AB é justamente a distância entre esses dois pontos A e B, conclui-se que:

Fórmula importante para medir a distância entre dois planos
Fórmula da distância entre dois pontos.

Então, a fórmula da distância é resultante da aplicação do teorema de Pitágoras.

Para exemplificar, dado o plano cartesiano a seguir, deve-se calcular a distância entre A e B.

representação gráfica da distâncias entre os pontos A e B
Representação dos pontos marcados no plano. (Foto: Guia Estudo)

A princípio, pode-se observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), respectivamente. Na marcação desses pontos, há a formação do triângulo retângulo ABC, determinando seus lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.

Logo, a distância entre os pontos A e B será a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras.

Com o auxílio dos estudos da álgebra e de conhecimentos geométricos basta aplicar  a fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, já conhecendo suas coordenadas.

Cateto BC: yb – ya 
Cateto AC: xb – xa
Hipotenusa AB: distância (D)

Segundo a teoria defendida pelo Teorema de Pitágoras tem-se que :

o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Exemplo 1 : Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), aplique a fórmula e determine a distância entre eles.

xa: 2
xb: 4
ya: -3
yb: 5

Aplicação da fórmula da distância entre dois pontos
Aplicação da fórmula e resultado da operação.

Exemplo 2:

Calcule a distância entre os pontos P (-2,3) e Q (-5,-9).

xa: -2
xb: -5
ya: 3
yb: -9 

aplicação da fórmula
Resultado do cálculo.

Distância entre dois pontos no espaço

Os pontos no espaço são determinados por um sistema de coordenadas tridimensional. 

Um ponto fica totalmente evidente no espaço quando, associado a ele, seja verificado uma tripla coordenada no plano cartesiano com três dimensões, sejam elas determinadas por x, y e z.

Para identificar a distância entre dois pontos no plano no espaço, é possível representá-los no sistema de coordenadas tridimensional, como mostra a figura a seguir, e efetuar os cálculos necessários a partir da fórmula.

plano cartesiano representado no gráfico de forma tridimensional
Representação tridimensional dos pontos cartesianos. (Foto: Guia Estudo)

Exemplo: de acordo com os planos acima, determine a distância entre o ponto A (3,1,0) e o ponto B (1,2,0)?

Nesse exemplo, observa-se que o ponto A e B pertencem ao plano xy.

A distância será dada por:

[d(A,B)]2 = 12 + 22 = √5

A distância entre esses dois pontos é representada por √5.

Resumo sobre distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos é uma medida do plano cartesiano. Nele um ponto chamado de A até qualquer outro ponto chamado de B possui determinada distância.

O cálculo dessa medida é feito por meio das operações matemáticas da área da geometria. Essa distância é obtida através do par ordenado (x, y) associado a esse plano.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

Neves, Juliete. Distância entre dois pontos; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/distancia-entre-dois-pontos >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 21:44.

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