Equações da Reta

Conjunto de pontos que podem ser representadas no plano cartesiano

As equações da reta podem ser apresentadas de várias formas. Neste texto iremos estudar quatro modelos básicos: equação fundamental, equação geral, equação reduzida e equação segmentária

Mas antes de dar continuidade ao assunto é necessário conhecer a reta.

O que é uma reta?

Na matemática, as retas correspondem ao conjunto infinito de pontos e com tamanho também infinito. Elas obedecem a quatro características elementares:

  • As retas são linhas infinitas;
  • As retas são unidimensionais (possuem apenas uma dimensão);
  • Em uma reta existem infinitos pontos;
  • As retas podem estar dispostas em três posições: horizontal, vertical e inclinada.
Posições da reta
Posições da reta.

Existem também quatro postulados relativos às retas:

  • Postulado da existência: numa reta, bem como fora dela, existem vários pontos;
  • Postulado de determinação: dados dois pontos distintos do espaço, existe apenas uma reta que os contém;
  • Postulado da inclusão: se uma reta tem dois ou mais de seus pontos num plano, ela está contida no plano;

Dentro do sistema de coordenadas do plano cartesiano (x, y) há uma equação do primeiro grau relacionada à reta, denominada de equação da reta.

Tipos de equações da reta

Equação fundamental da reta

Uma noção geral aplica-se a todas as equações da reta, por isso chamada de equação fundamental, que pode ser visualizada a partir da explicação abaixo:

Dada a reta no plano cartesiano (xy) – não perpendicular ao eixo x -, é conhecido o ponto A (Ax e Ay), coeficiente angular (m) e ponto genérico P (x, y). A obtenção da equação fundamental se dá a partir do cálculo abaixo, de modo que P ≠ A.

equação fundamental da reta
Representação da equação fundamental da reta.

Equação geral da reta (r):

Equação da reta
Equação geral da reta.

ou

y – A = m (x – A)

Equação geral da reta

É possível obter a equação geral da reta (r) com conhecimento dos pontos A (xA, yA) e B (xB, yB) e o ponto genérico P (x, y) para fins de alinhamento.

equação geral da reta
Representação equação geral da reta.
Matriz equação
Matriz equação geral.

Sabendo que a, b e c são números reais e a e b ≠ 0.

Para visualizarmos a aplicação dessa expressão, iremos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A (1,3) e B (2,4) através da matriz:

Aplicação matriz equação
Aplicação matriz equação.

O primeiro para o cálculo de uma matriz 3×3 é repetir as duas primeiras colunas à direita:

Aplicação matriz equação 2
Aplicação matriz equação.

O segundo passo é identificar as diagonais principais (vermelho) e as diagonais secundárias (azul):

Aplicação matriz 4
Aplicação matriz equação

O terceiro e último passo, consiste na multiplicação das diagonais e soma dos resultados, sendo que as principais receberão o sinal positivo e as secundárias receberão o sinal negativo:

Aplicação matriz 5
Aplicação matriz equação.

Calculada a equação com base na matriz, agora é necessário verificar se os pontos P (-3, -1) e Q (1, 2) de fato pertencem à reta (r), a partir da substituição das coordenadas de P em x – y + 2 = 0.

ax + by + c = 0

-3 – (-1) + 2 = 0 

 -3 + 1 + 2 = 0

Como o resultado da igualdade é verdadeira, então o ponto P pertence a reta (r)

Agora substituindo as coordenadas do ponto Q em que x – y + 2 = 0, obtemos:

ax + by + c = 0

1 – 2 + 2 ≠ 0

Como a igualdade não é verdadeira, então Q ∉ r

Equação reduzida da reta

Dada a reta (r) que passa pelo ponto Q (0, q) e tem coeficiente angular = tg(α), a sua equação reduzida é representada por:

equação reduzida da reta
Representação equação reduzida de reta

y = mx + n

Onde, m é o coeficiente angular e n o coeficiente linear.

A equação reduzida também pode ser obtida por meio da equação geral:

Equação reduzida
Equação reduzida.

A aplicação dessa expressão pode ser visualizada a partir da construção da equação da reta reduzida que possui os pontos P (2, 7) e Q (-1,-5):  

y = mx + n

Quando P (2,7):

7 = m2 + c

7 = 2m + c

2m + c = 7

Quando Q (-1, -5):

-5 = m (-1) + c

-5 = -m + c

-m + c = -5

Equação segmentária da reta

Considerando a reta , não paralela aos eixos do cartesianos e com pontos Q (0, q) e P (p, 0). A sua equação segmentária pode ser escrita da seguinte forma:

equação segmentária da reta
Representação equação segmentária da reta.
Equação segmentária
Equação segmentária.

Ao dividir essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta (r):

Equação segmentária 2
Equação segmentária.

Para aplicação desse tipo de equação, vamos observar a reta que passa pelo ponto P (3, 0) e Q (0, 2), conforme o gráfico:

Aplicação da equação segmentária da reta
Aplicação da equação segmentária da reta.

Aplicação equação segmentária

Resumo sobre equações da reta

Uma equação da reta é representada de diversas formas. Existem quatro modelos que foram abordados neste artigo, sendo eles: equação fundamental, equação geral, equação reduzida e equação segmentária. 

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

CAIUSCA, Alana. Equações da Reta; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/equacoes-da-reta >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 17:52.

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