Fatoração

Simplificando as equações e expressões algébricas

A fatoração tem o objetivo, assim como nos produtos notáveis, de simplificar as equações e expressões algébricas. Ela é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores. Não entendeu? Vamos explicar detalhadamente.

Uma forma simples de fazer a fatoração é dividir um número pelos menores números primos possíveis (2, 3, 5,7, 11,...). A divisão deve se repetir até que seja impossível seguir com a divisão.

Vejam os exemplos:

Número Nº Primo
250 2
125 5
25 5
5 5
1  

Portanto, 250 fatorado é: 2. 5. 5. 5

Número Nº Primo
882 2
441 3
147 3
49 7
7 7
1  

Portanto, 882 fatorado é: 2. 3. 3. 7. 7

Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica significa decompô-la em um produto de fatores. (Foto: PxHere)

Tipos de Fatoração

Fator Comum em evidência

A fatoração comum é realizada quando se coloca os fatores comuns em evidência. Vamos aos exemplos:

5x + 5y

Neste caso, o número 5 é comum nos dois termos e, por isso, é possível colocá-lo em evidência. Dessa forma:

5x + 5y = 5 (x + y)

Colocamos o 5 em evidência e multiplicamos pela expressão quociente da divisão da sentença original.

Outros exemplos:

7a + 7b = 7 (a + b)

15x + 5y = 5 (3x + y)

14m + 28n = 7 (2m + 4n)

Viu como é simples?!

Agrupamento de termos semelhantes

No caso da fatoração por agrupamento não é possível encontrar um fator comum de todos os termos, porém temos elementos que são comuns a alguns.

Exemplo:

4x + 6x + 4y + 6y

Percebe-se que x é comum nos dois primeiros termos, assim como o y é comum aos dois últimos. Portanto, podemos colocar em evidência da seguinte forma:

4x + 6x + 4y + 6y =  x (4 + 6) + y (4 + 6)

Perceba que ainda temos um fator em comum (4 + 6), portanto ainda podemos colocá-lo em evidência também:

x (4 + 6) + y (4 + 6) =  (4 + 6 ) + (x + y)

Então:

4x + 6x + 4y + 6y = (4 + 6 ) + (x + y)

Outros exemplos

8x + 9x + 8y + 9y = x (8 + 9) + y (8 + 9) = (8 + 9) (x + y)

5a + 5b + 2a + 2b = 5 (a + b) + 2 (a + b) = (a + b) + (2 + 5)

Diferença de dois quadrados   

Neste caso, a fatoração baseia-se em juntar todos os termos que forem iguais para, se possível, colocá-los em evidência.

Vamos analisar esse exemplo:

25y² – 9y²

Visto que a2 – b2 = (a + b)(a – b), podemos realizar a fatoração assim:

25y² – 9y² = (5y)² – (3y)² = (5y + 3y) (5y – 3y)

A fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são localizados através da raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a – b).

Logo:

25y² – 9z² = (5y + 3z) (5y – 3z)

Trinômio Quadrado Perfeito

Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito. No entanto, temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.

Exemplo:

X² + 14x + 49

Se o pudermos escrever como a2 + 2ab + b2 estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)2.

Obtemos o valor de “a” extraindo a raiz quadrada de “x2” no primeiro termo e o valor de “b” extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.

Ao substituirmos “a” por “x” e “b” por “7″ nos termos do trinômio a2 + 2ab + b2 devemos chegar a uma variação do trinômio original:

x² + 2 . x . 7 + 7²

Realizando a substituição de “a” e “b”, vamos então analisar a2 + 2ab + b2 termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.

Quando substituímos a por “x” em a2 chegamos ao x2 original.

Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . x . 7, equivalente ao 14x original.

E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.

Como foi possível escrever x2 + 14x + 49 na forma a2 + 2ab + b2, então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:

 X² + 2 . x . 7 + 7²  = (x + 7)²

Portanto:

X² + 14x + 49 = (x + 7 )²

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

BARBOSA, Elson. Fatoração; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/fatoracao >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 23:41.

Copiar referência

Outros Artigos de Matemática

O sistema da Blockchain possibilita o uso de Bitcoins no mundo todo.

Bitcoin

Bitcoin é uma criptomoeda utilizada em transações financeiras virtuais sem […]

Engenho de açúcar

Sistema Plantation

Sistema plantation é um sistema descendente do período colonial europeu […]

Colheita de plantação

Sistemas agrícolas

Os sistemas agrícolas formam o conjunto de atividades técnicas, econômicas […]

Setores da economia

Os setores da economia existem para medir o desenvolvimento econômico […]