Fatorial

O fatorial de um número n é representado por n!

O fatorial de um número natural n, representado por n!, é calculado a partir da multiplicação de todos os seus antecessores até o número 1. Essa relação é expressa genericamente por: n! = n . (n – 1). (n – 2). (n – 3) ... 2, 1.

De acordo com essa definição, o fatorial de 3 corresponde a 3! (lê-se 3 fatorial). Para encontrar o seu produto, basta fazer o seguinte cálculo:

3! = 3 . 2 . 1 = 6

Contudo,  0! = 1 e 1! = 1. Entenda o motivo no vídeo abaixo:

Veja outros exemplos de números fatoriais: 

  • 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
  • 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
  • 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
  • 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040
  • 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320
  • 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362.880
  • 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
  • 20! = 20 . 19 . 18 … 1 = 2.432.902.008.176.640.000

Quanto maior o valor de n, mais trabalhoso será o cálculo para encontrar n!. Deste modo, podemos realizar a simplificação de alguns fatoriais. Veja abaixo dois exemplos:

  • 10! = 10 . 9 . 8 . 7!
    9!/ 6! = 9 . 8 . 7. 6!/6! = 9. 8. 7 = 504

Fatorial e análise combinatória

Até aqui, você já deve ter percebido que os números fatoriais estão relacionados com a análise combinatória, área da matemática que estuda os métodos da contagem, já que ambos envolvem a multiplicação de números consecutivos. Existem três tipos de análises combinatórias, as quais envolvem números fatoriais. Confira abaixo:

Fatorial análise combinatória
Os números fatoriais relacionam-se com os tipos de combinatória. (Foto: Wikipédia)
  • Arranjo: cada grupo se distingue pela ordem dos elementos ou pela natureza dos mesmos. Para calcular o arranjo de n elementos, utiliza-se a seguinte fórmula:

A n,p = n!/ (n – p)!

Onde,

A = arranjo

n = número total de elementos

p = número de elementos de cada grupo

  • Permutação: esse conceito está relacionado com a troca de objetos, sendo possível entender de quantas maneiras pode-se ordenar n objetos em n posições. Esse é um tipo especial de arranjo, sendo expresso pela seguinte fórmula:

Pn = n!

  • Combinações: representam subconjuntos, cuja a ordem dos elementos não é tão importante, sendo caracterizadas pela natureza. Uma combinação simples é calculada a partir da fórmula:

C n,p = n!/ p! (n – p)!

Onde,

C: combinação

n: número total de elementos

p: número de elementos de cada grupo

Cálculos com fatoriais

Operações básicas

As quatro operações matemáticas básicas podem ser aplicadas aos números fatoriais. Saiba como solucionar cada uma delas:

  • Adição e subtração: para resolver essas duas operações é necessário resolver os fatoriais para depois somar ou subtrair as parcelas. Exemplo:

a) 4! + 3!

(4. 3. 2. 1) + (3. 2. 1)

24 + 6 = 30

b) 5! – 3!

(5 . 4 . 3 . 2 . 1) – (3 . 2 . 1)

120 – 6 = 114

  • Multiplicação: assim como nas operações anteriores, o primeiro passo é resolver os fatoriais para depois multiplicar os resultados. Exemplo:

a) 2!. 4!

(2.1) . (4. 3. 2. 1)

2. 24 = 48

b) 0! . 5!

1 . (5. 4 . 3 . 2 . 1)

1 . 120 = 120

  • Divisão: nessa operação, se necessário, é possível realizar a simplificação dos fatoriais. Exemplo:

a) 16!/ 15!

 16. 15!/ 15!/ =16

b) 8!/ 4!

8. 7. 6 . 5 . 4!/ 4! = 1.680

Equações

Também é possível encontrar equações matemáticas que envolvam fatoriais. Deste modo, para resolvê-las é necessário também resolver os fatoriais. Exemplo:

a) x – 4 = 2!

x – 4 = (2.1)  

x – 4 = 2 

x = 2 + 4

x = 6

b) (2x – 3)! = 120

(2x – 3)! = 5!

2x – 3 = 5

2x = 8

x = 4

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

CAIUSCA, Alana. Fatorial; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/fatorial >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 23:10.

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