Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é um método matemático para o cálculo de equações do segundo grau, isto é, encontrar as suas raízes através dos coeficientes. É importante ressaltar que esse coeficiente é o valor que multiplica a incógnita de uma determinada equação. 

A nomenclatura da fórmula é em homenagem ao professor Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático do século XII e o último do período medieval na Índia.

Equação de segundo grau

O grau de uma função é dada pela maior potência da variável independente. Ela é definida como função de primeiro grau quando a maior potência da variável x é igual a 1 (x¹). Quando o expoente da variável x é igual 2, ela  é identificada como função de segundo grau. No caso da equação de segundo grau, a maior potência é 2 (x²). Então, é escrita da seguinte forma:

ax² + bx + c = 0

Os coeficientes dessa equação são os números reais que representam a, b e c. Ou seja, o coeficiente angular é o valor que multiplica o x²; o coeficiente linear é o valor que múltipla x; e o coeficiente constante não multiplica nenhuma incógnita. Vejamos nos exemplos:

x2 + 5x + 3 = 0  (a = 1; b = 5; c = 3)

-7x² +2x + 9  (a = – 7 ; b = 2; c = 9)

x² – 4  (a = 1; b = 0 ; c = – 4)

• Se os coeficientes de a, b e c forem diferentes de zero a equação é classificada como completa.
• Se o coeficiente de a for diferente de zero, mas os de b ou c iguais, a equação é classificada como incompleta.

Fórmula de Bhaskara

Para resolver uma equação de segundo grau precisa-se encontrar os números de x (raízes da equação). Os coeficientes devem ser reais e o a diferente de zero. Sendo assim, temos a fórmula de Bhaskara:

x: incógnita
a: coeficiente angular
b: coeficiente linear
c: coeficiente constante

Contudo, o cálculo é dividido em duas etapas para facilitar o entendimento: discriminante da equação e cálculo das raízes na fórmula de Bhaskara.

Cálculo da Discriminante

O símbolo dentro da raiz na fórmula de Bhaskara é conhecido como discriminante da equação. Ele é representado pela letra grega delta (Δ) e possui a seguinte fórmula:

Δ = b² – 4.a.c

• Quando delta for maior que zero (Δ > 0), a equação terá dois valores reais e distintos.
• Quando delta for igual a zero (Δ = 0), a equação terá apenas um valor real ou dois resultados iguais.
• Quando delta for menor que zero (Δ < 0), a equação não terá valores reais.

Portanto, o cálculo para encontrar as raízes de uma equação de segundo grau necessita do valor de delta. Substituindo a discriminante e os coeficientes, a fórmula de Bhaskara ficará assim:

Cálculo das raízes

Na fórmula existe o sinal de “±”, indicando que devem ser feitas duas operações. O primeiro, no momento em que o número que segue a discriminante seja positivo. O segundo, no momento em que o número que segue a discriminante seja negativo.

Geralmente cada uma das raízes aparece como x’ e x”. Dessa forma:

 

Aplicações

Entenda como determinar as raízes dos exemplos abaixo:

4x² + 2x – 6 = 0

Passo 1: Separe os coeficientes da equação e encontre o valor de delta

a = 4; b = 2; c = – 6
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (2²) – 4. 4 . ( – 6)
Δ = 4 – 4 (- 24)
Δ = 4 + 96
Δ = 100

Como Δ>0, a equação terá duas raízes reais e diferentes.

Passo 2: Com o valor de delta, aplique na fórmula de Bhaskara

Passo 3: Calcule o valor das raízes

Assim, as duas raízes da equação são 1 e -3/2

Vejamos em outra equação:

7x² +3x +4 = 0 (a = 7; b = 3; c = 4)
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4. 7.4
Δ = 9 – 4. 28
Δ = 9 – 112
Δ = – 103

Como Δ<0, a equação não possui raízes reais, pois não existe raiz quadrada de número negativo.