Fórmulas Trigonométricas

Conheça cada uma delas

As fórmulas trigonométricas são baseadas na composição do triângulo retângulo – figura plana formada por uma ângulo reto (90°) e dois agudos (menores que 90°).

Esse tipo de triângulo apresenta três lados que funcionam de acordo com a posição do ângulo reto. São eles:

  • Hipotenusa: maior lado do triângulo e oposto ao ângulo reto.
  • Catetos: partes que compõem o ângulo de referência (90°). Se o lado estiver perto do ângulo reto é chamado de adjacente; já se estiver em sentindo contrário, é nomeado de oposto.
Fórmulas Trigonométricas
Representação do triângulo retângulo. (Foto: Wikipédia)

As razões trigonométricas

As razões ou relações trigonométricas estudam as ligações entre os lados e ângulos do triângulo retângulo, que funcionam das seguintes maneiras:

  • Seno: razão entre os lados que formam um dos ângulos agudos.
  • Cosseno: razão entre o valor do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.
  • Tangente: razão entre o seno e o cosseno de um dado ângulo ou entre os catetos.

Essas razões, através do Teorema de Pitágoras, dão origem a fórmula fundamental da trigonometria, ou seja:

sen²(a) + cos²(a) = 1 ou (sen a + cos a)² = 1

A fórmula deduz que o quadrado de um número negativo é igual ao quadrado do seu simétrico ou a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo vale 1:

Ao dividirmos os componentes da relação fundamental pelo sen²(a) encontraremos a chamada fórmula secundária:

sen²(a) / sen²(a) + cos²(a) / sen²(a) = 1 / sen²(a)  ou  1 + cot² (a) = csc²(a)

Caso a divisão seja feita com os elementos da relação fundamental e o cos²(a) , a conclusão é que sen²a – tag²a = 1

Fórmulas trigonométricas: soma e diferença de arcos

Conhecendo-se as razões trigonométricas de dois arcos, um de medida alfa e outro beta, é possível determinar as fórmulas de soma e diferença.

Fique atento! Não existe a soma ou subtração das relações trigonométricas de forma separada. O mesmo acontece para a adição e/ou subtração do cosseno e tangente.

O seno da soma e da diferença entre os arcos é dado por:

sen(a + b) = sen(a) . cos(b) + sen(a). cos(b)

sen(a – b) = sen(a) . cos(b) –  sen(a). cos(b)

O cosseno da soma e da diferença entre os arcos é dado por: 

cos(a + b) = cos(a). cos(b) – sen(a). sen(b)

cos(a – b) = cos(a). cos(b) + sen(a). sen(b)

Como a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, sua fórmula é:

tg(a+b) = sen(a) . cos(b) + sen(a). cos(b) / cos(a). cos(b) – sen(a). sen(b)

tg(a+b) = tg(a) + tg(b) / 1 – tg(a) . tg(b)

tg(a-b) = tg(a) – tg(b) / 1 + tg(a) . tg(b)

 Arco duplo (2a) 

Imagem Fórmulas Trigonométricas
Representação do círculo trigonométrico. (Foto: Guia Estudo)

O arco configura-se como duplo quando pertence ao círculo trigonométrico. Logo, os cálculos de seno, cosseno e tangente, a partir do arco a, deve ser feito pela substituição dos valores de b em a (a = b), ou seja:

sen(2a) = 2. sen(a) . cos(a)

cos(2a) = cos²(a) – sen²(a)

tg(2a) = 2. tg(a) / 1 – tg²(a)

Multiplicação

A multiplicação dos arcos com sen(2a), cos(2a) e tg(2a) é chamada de transformação trigonométrica. Confira a seguir as operações em cada situação:

Seno

Supondo que a e b sejam ângulos, o cálculo para encontrar o sen(2a) é:

sen(a + b) = sen(a)·cos(b) + sen(b)·cos(a)

Caso b = a, logo a+ b = 2a

Substituindo:

sen(2a) = sen(a) . cos(a) + sen(a) . cos(a)

sen(2a) = 2.sen(a) . cos(a)

Reparem que essa fórmula é a mesma da soma do seno do arco duplo. Então, a aplicação das duas servem para os mesmos propósitos.

Cosseno

Neste caso, existem duas operações para encontrar o cos(2a). São elas:

sen2(a) = 1 –  cos(2a)

cos(2a) = 1 – 2. sen(2a)

Tangente

Os ângulos para os cálculos da tangente de um arco duplo devem ser diferentes de 90°. Por isso, a fórmula baseia-se em:

tg(a+b) = tg(a) + tg(b) / 1 – tg(a) . tg(b)

Com a = b, teremos:

tg(2a) = 2. tg(a) / 1 – tg²(a)

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

SANTOS, Thamires. Fórmulas Trigonométricas; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/formulas-trigonometricas >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 17:53.

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