Fração geratriz

Fração que resulta em uma dízima periódica

Fração geratriz é a fração que resulta em uma dízima periódica, ou seja, quando dividimos seu numerador pelo denominador o resultado é um número decimal periódico.

A fração geratriz pertence ao conjunto dos números racionais, que são aqueles originados a partir de uma divisão. Lembrando que toda divisão pode ser escrita na forma de uma fração desde que seu denominador seja diferente de 0 (zero).

Logo, esses números racionais podem ser classificados de acordo com três situações:

  • Divisão exata: o resto da divisão é igual a zero e o quociente é um número inteiro. Exemplo: 8/4 = 2
  • Decimais finitos: o quociente da divisão é um número que possui vírgula e uma quantidade finita de números após ela, chamadas de casas decimais. Exemplo: 5/4 = 1,25
  • Decimais infinitos (dízimas periódicas): o quociente da divisão é um número que também possui vírgula, mas com quantidade infinita de números após ela que se repetem. Exemplo: 2/99 = 0,21212121…

Estas últimas, as dízimas periódicas, são muito importantes para saber como calcular uma função geratriz. Que tal conhecer mais sobre esse assunto? Acompanhe a explicação abaixo e boa leitura!

Fração geratriz pi
O número pi é um exemplo de dízima periódica. (Foto: Wikipédia)

Dízimas periódicas

Uma dízima periódica é formada de três elementos: parte inteira, anteperíodo e período. A parte inteira é aquela que antecede as casas decimais (antes da vírgula); o período é a parte que se repete infinitamente.

Já o anteperíodo corresponde a parte do número que está após o começo das casas decimais, ou seja, após a vírgula, e vai até o início do período. Por exemplo, na dízima 45,76555…, o 45 é a parte inteira, 76 o anteperíodo e 5 o período.

Perceba também que as dízimas periódicas possuem reticências (...) ao final do número ou, ainda,  um traço sobre a parte que repete, o período.

As dízimas periódicas ainda podem ser classificadas em dois tipos: 1) simples, pois o período apresenta-se logo após a vírgula (não possuem anteperíodo) e 2) compostas, entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Exemplo:

  • 0,111… período igual a 1 (dízima simples);
  • 0,45222… anteperíodo igual a 45 e período igual a 2 (dízima composta).

Como calcular uma fração geratriz

Como já dito, as dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais. Logo, todas elas possuem uma fração que, quando dividimos o numerador pelo denominador, encontramos exatamente essa dízima.

Desta forma, é fundamental saber como encontrar a fração que origina cada dízima e, posteriormente, realizar operações matemáticas com ela.  Algumas etapas devem ser seguidas para calcular a fração geratriz. Confira abaixo:

  1. Igualar a dízima periódica a uma incógnita como x, na forma de uma equação do primeiro grau;
  2. Multiplicar os dois lados da equação por um múltiplo 10, de acordo com o número de casas decimais.
  3. Reduzir a equação encontrada da equação inicial.
  4. Por fim, isolar a incógnita.

Outro modo de encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples consiste em colocar o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, adicionar um número 9. 

Já para as para as dízimas compostas, além de adicionar o número 9 para cada algarismo do período, o zero é adicionado no denominador para cada algarismo do anteperíodo.

Posteriormente, no numerador é realizado o seu cálculo: (parte inteira com anteperíodo e período) - (parte inteira com anteperíodo).  

Exemplo 1 – Qual a fração geratriz do número 0,8888…?

Utilizando o primeiro método temos:

x = 0,8888…

10 x = 10 x 0,8888…

10 x = 8,888…

Fração geratriz reduzida
Redução da equação.

A fração geratriz dessa dízima é:

X = 8/9

Exemplo 2 – Qual a fração geratriz do número 0,171353535…?

Fração geratriz de dízima composta
Cálculo de dízima composta.

No exemplo acima, temos um caso de dízima periódica composta. O número 17135 é composto pela junção do anteperíodo 171 com o período 35. Ao realizar a subtração deste número obtemos 16964, o numerador da fração geratriz.

Já o denominador é formado por dois dígitos 9, que são os dígitos do período, assim como no caso das dízimas periódicas simples. Logo depois tem os três zeros, que são os 3 dígitos do anteperíodo.

Que tal um resumo sobre função geratriz? Confira no vídeo abaixo:

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

CAIUSCA, Alana. Fração geratriz; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/fracao-geratriz >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 23:05.

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