Função Afim

Função polinomial de primeiro grau

A função afim, também conhecida como função de primeiro grau, é definida pela fórmula f(x) = ax + b, pois f: ℝ→ℝ.

Como o nível de uma função é dado pela maior potência da variável independente (x), no caso da função afim o maior expoente é 1(x¹). Nesse tipo de função de primeiro grau o valor de "a" é chamado de coeficiente angular ou taxa de variação da função, e o "b" de coeficiente linear ou valor inicial.

As funções f(x) = 2x+5 (a = 2 e b = 5); f(x) = -10x (a = -10 e b = 0) e f(x) = 1/3x + 1/7 (a = 1/3 e b = 1/7) são exemplos de função afim.

Função Afim: coeficientes

Na formação f(x)= ax +b, o número de “a” é reconhecido como a taxa de crescimento (variação) ou de coeficiente angular porque indica o quanto a função pode crescer e a inclinação da reta em relação ao eixo x no plano cartesiano.

O termo “b”, que é constante, é o coeficiente linear da função. A partir dele é possível encontrar o ponto onde a reta passa no eixo y do gráfico quando o x = 0. Entenda:

Em f(x) = 2x + 3 a função irá cortar o eixo das ordenadas (y) no ponto (0,3), pois f(0) = 2.0+3 = 3.   

Função Afim: gráfico

O gráfico da função afim é uma reta, sendo que o valor do coeficiente angular determina se a ela é crescente ou decrescente:

  • Quando o a for maior que zero (a > 0) a função é considerada crescente;
  • Quando o a for menor que zero (a < 0) a função é considerada decrescente;
  • Quando a função for crescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será menor que 90° (agudo);
  • Quando a função for decrescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será maior que 90° (obtuso).

A função 2x – 1, por exemplo, é crescente. Isso porque o valor de a = 2 (positivo: maior que zero). Já a função –x + 4 é decrescente, pois o valor de a = -1 (negativo: menor que zero). Vejamos nos gráficos abaixo:

função de primeiro grau - gráfico da função crescente
Gráfico da função crescente. (Foto: Guia Estudo)
função afim - gráfico da função decrescente
Gráfico da função decrescente. (Foto: Guia Estudo)

Para traçar a reta do gráfico são necessários dois pontos: um pela raiz da função e outro pela substituição do valor de x por 0  (y = b), ou seja:

f(x) = ax + b

f(x) = a . 0 + b

y = b

Raiz

A raiz de uma função afim é o ponto que passa pelo eixo x, ou seja, no momento em que y = 0. Sendo assim, basta substituir o y por 0 na fórmula que a raiz da função será encontrada.

f(x) = ax + b

0 = ax + b

ax = -b

x = -b/a

As funções de primeiro grau apresentam apenas uma raiz.

Classificação da Função Afim

Existem três tipos de função afim: linear, identidade e constante. Observe as características de cada uma delas. 

Constante

Uma função afim é identificada como constante se f(x) = b, ou seja, o coeficiente angular  igual a zero (a = 0). Nessas situações, o gráfico apresentará uma reta paralela ao eixo x, passando o y no ponto b.

Dado f(x) = 2x + 3, o gráfico será interceptado no eixo 3, porquê:

f(x) = 2.0+3

f(x) = 3

Função Afim - Gráfico da função constante
Gráfico da função constante. ( Foto: Guia Estudo)

Identidade

Uma função afim é identificada como identidade se f(x) = x, isto é, quando o coeficiente angular é igual a 1 e o coeficiente linear igual a zero (a = 1; b = 0). Nesses casos, a reta passará pela origem (0,0).

A reta é chamada de bissetriz – semirreta que separa o ângulo em dois da mesma medida – dos quadrantes ímpares (1º e 3°).  

Gráfico da função identidade
Gráfico da função identidade. (Foto: Guia Estudo)

Linear

Uma função afim é identificada como linear se f(x) = ax, sendo o coeficiente angular diferente de zero (a ≠ 0) e o coeficiente linear igual a zero (b = 0). Nesses casos, a reta também passará pela origem (0,0).

f(x) = 2x; f(x) = – 5x ou f(x) = 1/6 são funções lineares. No gráfico abaixo temos a representação do primeiro exemplo:

Gráfico da função linear
Gráfico da função linear (Foto: Guia Estudo)

Aplicação

Dada a função f(x) = 4x + 9 vamos determinar o valor de x para f(x) = 3.

Temos:

f(x) =  4x + 9

3 = 4x + 9

3 – 9 = 4x

– 5 = 4x

x = – 5/4

Já a raiz dessa mesma função é:

f(x) =  4x + 9

4x + 9 = 0

4x= – 9

 x = – 9/4

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

SANTOS, Thamires. Função Afim; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/funcao-afim >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 21:23.

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