Função de Segundo Grau

A função de segundo grau é representada pela expressão:  f(x) = ax² + bx + c. Onde os coeficientes a, b e c são números reais e a é diferente de 0 (zero).

Para uma equação seja considerada uma função, ela deve possui dois elementos: domínio e imagem. A imagem é representada pelos valores em que f(x) ou y podem assumir na função.

O domínio corresponde ao conjunto de valores possíveis das abscissas (x), isto é, a área do universo em que a função pode ser definida.

Já a imagem é o conjunto dos valores das ordenadas (y), sempre resultantes da aplicação da função f(x). 

Veja abaixo alguns exemplos de funções do segundo grau:

• y = 2x² – 1, em que a = 2, b = 0 e c = -1;
• y = – x² + x + 5, em que a = 1, b = 1 e c = 5;
• y = 3x² – 2x, em que a = 3, b = -2 e c = 0;

Tipos de funções

O grau de uma função é determinado pelo maior expoente que a incógnita x apresenta. É ele que também designa quantas possíveis raízes a função pode ter. Agora que você já sabe diferenciar os tipos de funções, veja os exemplos abaixo:

• Função de primeiro grau: f(x) = ax + b. Exemplo: f(x) = 3x + 1;
• Função de segundo grau: f(x) = ax² + bx+ c. Exemplo: f(x)= 3x² – 2x;
• Função de terceiro grau: f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Exemplo: f(x) = 5x³ + 3x² + 2x + 1;

Função de segundo grau completa e incompleta

A função de segundo grau ainda pode ser chamada de função quadrática ou função polinomial do 2° grau. Esta pode ser considerada completa se obedece a regra em que todos os coeficientes (a, b e c) são diferentes de 0 (zero).

Exemplos:

f(x) = x² + 2y+ 1 → a = 1, b = 2 e c = 1

f(x) = x² + 3y+ 6 → a = 1, b = 3 e c = 6

Contudo, a função de segundo grau será incompleta se um dos coeficiente, b ou c, forem iguais a 0 (zero).

Exemplos:

f(x) = 3x² + 2 → a = 3, b = 0 e c = 2

f(x) = 2x² → a = 2, b = 0 e c = 0

O Gráfico da função de segundo grau

O gráfico da função de segundo grau é uma parábola, que tem sua concavidade definida de acordo com o valor do coeficiente a. Se a > 0, a curvatura da parábola será voltada para cima, já se a < 0, a curvatura da parábola será voltada para baixo.

A parábola apresenta alguns elementos essenciais: as raízes, os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (eixo x), e o vértice, o ponto de máximo ou mínimo a função.

Estudo dos coeficientes b e c

Como já explicado, o coeficiente “a” determina a concavidade da parábola. Já o coeficiente “c” indica onde a parábola corta o eixo das ordenadas (eixo Y), de acordo com as relações:

• Se c>0, a parábola irá cortar o eixo Y acima da origem;
• Se c<0, a parábola irá cortar o eixo Y abaixo da origem;
• Se c=0, a parábola irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0).

Enquanto o coeficiente “b” determina a inclinação que a parábola toma após passar o eixo Y, de acordo com as relações:

• Se b<0, a partir do ponto de corte do eixo Y a curvatura da parábola irá descer;
• Se b >0, a partir do ponto de corte do eixo Y a curvatura da parábola irá subir;
• Se b = 0, após o ponto de corte não haverá inclinações.

Vértice

Para encontrar o valor do vértice utiliza-se as seguintes fórmulas:

Onde, ∆ = b² – 4ac e:

• Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos;
• Se ∆ = 0 a, função tem duas raízes reais iguais e a parábola é tangente ao eixo x;
• Se ∆ < 0, a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x;

Raízes

Para encontrar as raízes da função basta utilizar a fórmula de Bháskara: