Função Identidade

A função identidade, também nomeada de função inclusão, é o modelo em que os elementos do domínio (conjunto A) são também os componentes da imagem do contradomínio (conjunto B).

Por esse motivo, a função identidade é sempre bijetora e linear, pois para qualquer valor que seja x o resultado da sua função será ele mesmo (f(x) = x). Ou seja, a entrada do domínio é igual a imagem do contradomínio.

Quando o conjunto A é diferente do B as suas respectivas funções também são distintas.

O que é função bijetora?

A função bijetora apresenta as mesmas características da injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Um função f é definida como injetora quando cada elemento do contradomínio (imagem) corresponde a um único elemento do seu domínio.

Nos conjuntos A = {x1, x2, x3, x4} e B = { a, b, c, d} a correlação injetora é determinada por: f = ( { x1, a); (x2,b); {x3, c}; { x4,d}). Os elementos do domínio A possuem imagens distintas no contradomínio B.

O gráfico da função injetora pode ser crescente ou decrescente, mas, para isso, uma reta precisa cruzar apenas um dos pontos do eixo y, uma vez que os diferentes valores do domínio se relacionam com imagens diferentes.

Já na função sobrejetora a imagem é igual ao contradomínio, ou seja, os elementos do conjunto B são imagens do conjunto A (domínio). Nessa relação não sobra membros do domínio sem ligações com os valores do outro conjunto.

Dado os conjuntos A = {x, y, z, w} e B = {a, b, c} a relação sobrejetora é feita da seguinte maneira: f = ({ x, a); (y,b); (z,c); (w,c)}. Observa-se que os valores do domínio ligam-se em imagens diferentes e iguais do contradomínio.

Gráfico da função identidade

Além de bijetora, a função identidade pertence a uma das categorias da função linear – formação em que f(x) = a.x. Isso ocorre porque o coeficiente linear é igual a zero (b = 0) e o angular um valor real diferente de zero. Toda função que não possui o valor de b é identificada como função linear e, consequentemente, de função afim (f(x) = a.x + b).

Nessas condições, quando o coeficiente angular é igual a 1 e o coeficiente linear igual a zero (a = 1; b = 0) a função pode ser chamada de linear ou identidade. Como é uma função de primeiro grau (a maior potência da variável independente x é 1), o gráfico será sempre uma reta passando pela origem (0,0).

No caso da função identidade o gráfico é nomeado de bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3°), pois a reta divide o ângulo em dois de mesma medida (45°). Além disso, como o coeficiente angular é igual a 1, a sua representação  é crescente.

No geral, as funções lineares apresentam as seguintes características:

• Quando o a for maior que zero (a > 0) a função é classificada de crescente;
• Quando o a for menor que zero (a < 0) a função é classificada de decrescente;
• Quando a função for crescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será menor que 90° (agudo);
• Quando a função for decrescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será maior que 90° (obtuso).