Função Injetora

Define-se como função injetora ou injetiva as propriedades que transformam os componentes do domínio (conjunto A) em diferentes conjuntos da imagem (componentes do conjunto B), ou seja, não existem elementos da imagem que se relacionem com mais de um membro do domínio.                                              

Na matemática, o conjunto A é definido de domínio da função e B de contradomínio (imagem). Lembre-se que função é relação entre dois conjuntos numéricos, A e B, no qual cada elemento de A é associado a um único componente de B.

Propriedades da função injetora

• Quando os valores de x dentro do conjunto A (domínio) são diferentes, as suas imagens também são distintas. Com isso, a função torna-se injetora.
• A função também é injetora caso os valores do conjunto A e suas respectivas imagens sejam iguais.
• A função identidade também é injetiva, pois para qualquer valor que seja x o resultado da sua função será o próprio x (f(x) = x). Logo, cada elemento da imagem estará associado a um elemento do domínio.
• As funções de primeiro grau são injetoras. Já as de segundo não.

Aplicação

Para sabermos se uma função é injetora basta encontrarmos dois valores distintos para x, de forma que a imagem seja diferente.

Dado f(x) = 3x vamos determinar x = 2 e x = – 2

f(2) = 3. 2 = 6

f(-2) = 3.(-2) = – 6

Observa-se que essa função é injetora, pois os valores de x – que devem ser distintos – apresentam correspondentes em y diferentes.

Seja f(x) = x² + 1, temos:

x = 2 e x = -2

f(2) = 2² + 1 = 4 +1 = 5

f(-2) = -2² + 1 = 4 + 1 = 5

Escolhemos os mesmos valores de x do primeiro exemplo, mas essa função não é injetora. Para cada valor distinto de x obtivemos o mesmo resultado em y, ou seja, f (2) = f(-2).

Gráfico da função injetora

O gráfico de uma função injetora pode aparecer na forma crescente ou decrescente, no entanto, uma reta deve passar por apenas um ponto. Isso ocorre porque, como já sabemos, os elementos diferentes de A possuem imagens distintas em B.

Então, se traçarmos linhas paralelas ao eixo x e estas cruzarem o eixo y em mais de um ponto, saberemos que a função não é injetiva. Entenda nos exemplos:

Percebe-se que na figura acima os diferentes valores do domínio originam uma mesma imagem. Com isso, as linhas interceptam o gráfico em mais de um ponto da reta. 

Já no caso a seguir a função é injetora, visto que cada linha horizontal cruza o gráfico da função uma única vez.

Tipos de funções

Além da função injetora, existem outros dois tipos de relações que caracterizam uma função:

Função Sobrejetora: quando a imagem é igual ao contradomínio, ou seja, todos os elementos do conjunto B são imagens do conjunto de partida (domínio). No momento de correspondência entre os conjuntos não sobra elementos do domínio sem ligações com os valores do outro conjunto.

Função Bijetora: é uma função injetora e sobrejetora simultaneamente, no qual a imagem é todo o conjunto dos números reais e os elementos de um conjunto são correspondentes aos elementos do outro.