Função inversa

A função inversa ou invertível é uma função do tipo bijetora (simultaneamente injetora e sobrejetora) que, resumidamente, pode ser definida como uma função que “reverte” em outra. Tal função é denotada pela expressão f-¹ (lê-se função inversa de f).

Não conseguiu entender? A equipe do Guia traduz isso para você!

Na imagem abaixo existem dois conjuntos numéricos. O primeiro, na esquerda, indica a função f: A –> B, que é do tipo bijetora, com domínio A e imagem B. Enquanto imagem da direita, representa a função inversa f-¹: B --> A, com domínio B e imagem A.

Uma das principais características da função inversa (f-¹) é capacidade em criar funções a partir de outras. Isso acontece porque os elementos de uma função podem ser trocados.

Relembrando o que é uma função

Antes de exemplificar, de forma prática, uma função inversa e suas características é fundamental relembrarmos as funções matemáticas, um dos tópicos mais importantes das ciências exatas.

Função, também chamada de aplicação, é a relação genérica existente entre um conjunto A e um conjunto B, expressa como f: A --> B (lê-se f de A em B). Nessa relação há alguns elementos:

• f é o nome da função
• A é chamado de domínio
• B é chamado de contradomínio
• y = f(x) expressa a lei de correspondência dos elementos x que pertencem à A e dos elementos y que pertencem à B.

É denominado como domínio (D) de uma função o conjunto de partida – local de onde saem as flechas. Já a  a imagem (Im) representa todos os elementos atingidos pelas flechas oriundas do domínio.

O contradomínio (Cd) corresponde ao conjunto de chegada, isto é, os elementos que as flechas podem atingir. Mas fique atento! Para que um função tenha validade, nem todos os elementos do conjunto B precisam ser utilizados.

Por outro lado, para a relação entre conjuntos ser considerada uma função, todos os elementos do conjunto A devem estar relacionados a algum elemento do conjunto B. Vejamos abaixo:

Função bijetora

Como já explicado, a função inversa é simultaneamente injetora e sobrejetora, ou seja, uma função bijetora. Esta última, atesta que os elementos da função A relacionam-se com os elementos da função B.  Os conjuntos também possuem a mesma quantidade de elementos.

Veja abaixo a descrição e o vídeo explicativo sobre as duas funções:

• Função sobrejetora: também chamada de sobrejetiva, nesse tipo de função todos os elementos do domínio possuem pelo menos um elemento na imagem, logo, a imagem é igual ao contradomínio.
• Função injetora: também chamada de injetiva, cada elemento do domínio está associado a um único elemento da imagem. Sendo assim, dois elementos não podem ter a mesma imagem.

Função inversa na prática

Na imagem abaixo há dois conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-16, -2,0, 2, 16}, com função (seta preta) expressa por f: A –> B. Podemos visualizar também a função inversa (seta azul), indicada por f-¹: B –> A.

Após observar as duas funções podemos fazer as seguintes considerações:

• O domínio de f coincide com a imagem de f-¹;
• A imagem de f é equivalente ao domínio de f-¹;
• Na função f o -2 é conduzido até o -16, enquanto na inversa f-¹, -16 “traz de volta” -2, invertendo o efeito de f sobre -2;
• Se aplicado f e f-¹ a qualquer outro número obteremos ele de volta.  

Gráfico da função inversa

Os gráficos de uma função e a sua inversa possuem curvas simétricas em relação à reta y = x, do mesmo modo que seus pontos são equidistantes. Veja o exemplo abaixo:

Aplicação

Agora que você já conhece as características de uma função inversa vamos calculá-la a partir de dois exemplos, seguindo duas etapas: 1) trocar as variáveis x e y dentro da expressão; 2) isolar a variável x na sentença y=f(x).

Exemplo 1 – Dada a função f(x) = x + 5, o cálculo para f-1 (x) é:

y = x + 5

x = y + 5

-y = -x + 5

Y = x – 5

Exemplo 2 – Dada a função f(x) = x + 6, o cálculo para identificar f-1 (4) é:

y = x + 6

x = y + 6

4 = y + 6

-y = -4 + 6

-y = 2 (multiplica por -1) y = -2