Função Logarítmica

A função logarítmica é definida pela formação f(x) = log_ax, sendo a a base da função, positiva (a > 0) e diferente de zero.

Como o logaritmo serve para determinar o valor do expoente em que a base está elevada, no logaritmo com base "a" e um número "b" o seu expoente será o x, que é justamente a potência da base que resultará em b. Ou seja:

log_ab = x <—-> a^x = b

Em que,

a: base

x: logaritmo

b: logaritmando

São exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log₂x 

f(x) = log_1/3x

f(x) = log₂(x – 1)

f(x) = log_{(a – 2)}⁴

Vale ressaltar que esse tipo de função precisa obedecer as seguintes regras:

• A base do logaritmo sempre é maior do que zero e diferente de 1 (0 < a ≠ 1);
• O valor de x integra o conjunto dos números reais positivos e sem o zero (x > 0).

Domínio e imagem da função logarítmica

Como vimos, a função logarítmica é caracterizada por f(x) = logax, sendo < a ≠ 1. Isso significa que é uma função f: R*+ → R, ou seja, o domínio participa do conjunto dos números reais positivos e sem o zero (R*+).

Já que o domínio de uma função determina os valores usados em x, no caso da logarítmica o x deve ser positivo e a base “a” um valor também positivo e diferente de 1.

Tais definições admitem que a imagem desse tipo de função também esteja contida no conjunto dos números reais, uma vez que é o resultado dos respectivos valores calculados em x.

Ficou confuso? Vamos encontrar então o domínio da função f(x) = log_{(x – 4)} para melhor entendimento.

1° passo: considere (x – 4) > 0, pois, como já sabemos, essa é uma das condições de existência do logaritmo.

2° passo: solucione a inequação.

x – 4> 0

x > 4

Logo, o domínio dessa função é D = {x ∈ R | x > 4}

Gráfico

A representação gráfica da função logarítmica depende dos valores escolhidos para x e os respectivos resultados para f(x). Os pontos são colocados no plano cartesiano e é então traçada uma curva.

Como essa função é definida por x > 0, o gráfico estará no 1° e 2° quadrantes. Além disso, são classificadas em crescente ou decrescente.

Função crescente

Quando a base "a" é maior que 1 (x1 < x2 ⇔ loga x1 < loga x2) tem-se uma função logarítmica crescente, pois à medida que x aumenta ocorre o mesmo com o f(x). É o gráfico que cresce em razão do aumento de x.

Se aplicarmos valores de x na função f(x) = log_ax e calcularmos a sua imagem (fx), podemos encontrar um gráfico crescente com a seguinte composição:

Função decrescente

Caso a base seja 0 < a < 1, a função é decrescente em todo o seu domínio (x1 < x2 ⇔ loga x1 > loga x2). Isso acontece porque à medida que x aumenta, o f(x) diminui.

Já que os valores de x aumentam, mas os valores das respectivas imagens diminuem, o gráfico dessa função comporta-se da seguinte maneira:

Fique atento! Crescente ou decrescente, a curva do gráfico da função logarítmica sempre toca o eixo das abscissas (x) no ponto (1,0) e nunca cruza o eixo das ordenadas (y), pois f(x) = loga1 = 0.

De forma geral, a função logarítmica apresenta as características:

• Crescente para a > 1;
• Decrescente para 0 < a < 1;
• A Im (imagem) = R
• É injetora e sobrejetora.

Função Inversa

A função exponencial é inversa da logarítmica. Ela aponta uma relação de dependência entre a variável no expoente (x) e o número real, que deve ser maior que 0 e diferente de 1, presente na base.

Essas propriedades definem a sua formação: f: R→R tal que f(x) = ax, sendo a > 0 e ≠ 1. Na exponencial a base sempre é maior que zero e, por isso, a imagem da função é positiva e não existem pontos no 3° e 4° quadrantes do plano cartesiano. 

Em virtude da simetria na bissetriz dos quadrantes ímpares (1° e 3), é possível construir o gráfico da função logarítmica de acordo com o gráfico da exponencial.