Lei dos Senos e dos Cossenos

A Lei dos Senos e dos Cossenos é utilizada na resolução de triângulos, ou seja, é possível desenvolver cálculos que permitam determinar os ângulos, os lados e os outros elementos do triângulo.

Essa lei aplica-se a qualquer tipo de triângulo, exceto o triângulo retângulo (que possui um ângulo interno reto, com exatamente 90º). Nesse caso, nos cálculos dos ângulos e dos lados é utilizado o Teorema de Pitágoras, representado pela fórmula abaixo:

a² = b² + c²

Sendo assim, a Lei dos Senos e dos Cossenos é utilizada no triângulo acutângulo (possui todos os ângulos agudos, menores que 90°) e no triângulo obtuso (possui um ângulo interno obtuso, maior que 90º).

Fique atento! Os ângulos podem ser representados por letras maiúsculas com acento circunflexo, somente letras maiúsculas (A, B, C) ou por símbolos gregos. Já os lados podem ser representados por letras minúsculas (a, b, c).

A Lei dos Senos e dos Cossenos no Triângulo Acutângulo

As relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente são válidas apenas para o triângulo retângulo. Para identificar as medidas dos ângulos e lados do triângulo acutângulo é necessário utilizar as Leis do Senos e dos Cossenos.

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos ou Teorema dos Cossenos é utilizada para calcular as medidas do lado ou do ângulo do triângulo, desde que as outras medidas sejam conhecidas. Essa lei é reconhecida pelo enunciado abaixo e fórmula subsequente:

“O quadrado de um dos lados do triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles”.

a² = b²+c²-2.b.c.cosA

b² = a²+c²-2.a.c.cosB

c² = a²+b²-2.a.b.cosC

Na figura abaixo podemos identificar três triângulos:

1(ABC), 2(ABD) e 3(BCD)

Com base na Lei dos Cossenos é possível extrair as seguintes relações:

b= m + n e m = c.Cos A

Os triângulos ABD e BDC são considerados retos, já que possuem ângulos internos de 90º, deste modo é possível utilizar o Teorema de Pitágoras para estabelecer relações entre os lados dessas figuras e chegar à Lei dos Cossenos.

Em Pitágoras, a² = b² + c²

Em ABD, c² = m² + h²

Em BCD, a²= n ²+ h²

Ao fazer as substituições em BCD:

n= b-m

h² = c² – m² 

Alcançamos a seguinte relação:

a² = (b-m) ² + c² – m²

a² = b² – 2b.m + m² + c² – m²

a² = b² + c² – 2b.m

Ao usar a relação m= Cos A é possível encontrar a Lei dos Cossenos:

a² = b² + c² -2b.c.Cos A

Agora vamos fazer a aplicação da Lei dos Cossenos no triângulo abaixo, que possui lados a, b e c. Sendo que o comprimento de b= 10, o comprimento de c= 15 e o comprimento de a será encontrado sabendo que b e c formam um ângulo de 60º.

a² = 10² + 15² – 2.10.15. Cos 60º

a² = 100 + 225 – 300.  1/2

a² = 325 -150

a² = 175

a = √175 = 5√7

Lei dos Senos

A Lei dos Senos ou Teorema dos Senos indica que a relação entre a medida do lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado será sempre constante. Essa lei é representada pela seguinte fórmula:

Abaixo, os triângulos 1 (ABC), 2 (ABD) e 3 (BCD) irão ajudar na visualização dessa lei:

Os triângulos retângulos ABD e BCD são gerados a partir do corte do triângulo ABC em duas partes.

O seno do ângulo α do triângulo ABD é representado por:

SenA.c = BD

Já o seno do ângulo θ do triângulo BCD é representado por:

senC·a = BD

Deste modo, podemos observar que senC·a como SenA·c são iguais a BD e podem ser representados em:

senC·a = senA·c

Se dermos continuidade aos cálculos do outro lado do triângulo chegaremos à conclusão que:

A aplicação da Lei dos Senos será visualizada a partir do cálculo de um dos lados do triângulo abaixo, que apresenta c=6, C= 45º, B = 60º e a será encontrado:

Tabela de ângulos

Conhecer os valores dos ângulos do seno, cosseno e tangente auxilia no calcula das Leis dos Senos e dos Cossenos. Confira abaixo a tabela:

Graus	Seno	Cosseno	Tangente
0º	0	1	0
30º	1/2	√3/2	√3/3
45º	√2/2	√2/2	1
60º	√3/2	1/2	√3
90º	1	0	–
120º	√3/2	-1/2	-√3
135°	√2/2	-√2/2	-1
150º	1/2	-√3/2	-1
180°	0	-1	0
210°	-1/2	-√3/2	√3/3
225º	-√2/2	-√2/2	1
240º	-√3/2	-1/2	√3
270º	-1	0	–
300º	-√3/2	1/2	-√3
315º	-√2/2	√2/2	-1
330º	-1/2	√3/2	-√3/3
360º	0	1	0

Resumo sobre Lei dos Senos e dos Cossenos

• Ambos são considerados teoremas de grande importância na trigonometria;
• É utilizada para estabelecer relações que ajudam no cálculo dos ângulos e lados de um triângulo acutângulo e obtuso;
• Contudo, não se utiliza  a Lei dos Senos e dos Cossenos para o cálculo do triângulo retângulo. Neste caso, utiliza-se o Teorema de Pitágoras.