Logaritmo

Operação matemática inversa à exponenciação

O logaritmo é a função matemática que tem como objetivo encontrar, através de operações numéricas, o expoente de uma potenciação, reconhecendo o resultado de sua base, quando esta for diferente do numeral 1 (um). 

O logaritmo é, basicamente, uma inversão da exponenciação.

Para compreender as operações realizadas com base no logaritmo, é necessário entender previamente e, com clareza, as definições da disciplina que estuda este tipo de operação: a matemática.

De origem grega, a palavra “matemática” significa “aquilo que é possível aprender”. Essa ciência estuda objetos e representações abstratas (números, figuras, funções e objetos), com uma linguagem particular e muito característica.

Ou seja, a disciplina abrange o ensino dos processos numéricos, mecanismos e procedimentos próprios, como é o caso do logaritmo.

Conheça a fórmula e cada um dos elementos que compõem a sua estrutura:

Função do logaritmo
Fórmula e estrutura do logaritmo. (Foto: Guia Estudo)

Definição dos Logaritmos

A partir deste momento, serão apresentadas regras básicas para o estudo e cálculos das equações de logaritmo.

Apesar das variações, as fórmulas apresentadas a seguir reúnem as normas padrão para este tipo de operação matemática.

  • O logaritmo será sempre igual ao numeral 1 quando o logaritmando for igual a base.  Veja:

Loga=1

  • Quando o logaritmo de qualquer base tiver o logaritmando igual a 1, o resultado sempre será 0 (zero). Não há exceções neste caso. Confira:

Loga1=0

  • Nas situações em que os logaritmos apresentarem bases idênticas, os logaritmandos serão iguais. Compare:

Logab=Logac <> b=c

  • O logaritmo cuja potência de base ‘a’ e expoente igual a logaritmo de ‘b’ na base ‘a’, é sempre igual a ‘b’. Veja:

aLogab=b

Variação de Logaritmos

Os logaritmos também envolvem, em seus cálculos, algumas operações básicas da matemática. Os próximos exemplos exibidos merecem um pouco mais de atenção por  apresentarem cálculos de  multiplicação e divisão.

Observe as especificidades dos casos a seguir:

  • Quando o logaritmando possui uma multiplicação, deve-se separar seus logaritmos, somando-os, utilizando a mesma base para os dois. Entenda:

LogaMN=loga M+ logaN

  • Quando o logaritmando possui uma multiplicação, deve-se separar seus logaritmos, subtraindo-os, utilizando a mesma base para os dois. Veja:

LogaM/N=loga M- logaN

Atenção! Na regra da potência, o logaritmo da potência pode ser simplificado, multiplicando o expoente pelo logaritmo. Lembrando que a base e o logaritmando devem ser sempre mantidos. Confira no exemplo:

Loga (Mk) = k logaM

Uso da potência

Depois de ter visto sobre logaritmo de potência, entenda também o conceito e propriedades do uso da potência. A compreensão destes cálculos é fundamental para melhor aplicação de logaritmos.

Nas operações matemáticas, a potência é considerada como o resultado de um número multiplicado por ele mesmo uma ou mais vezes.

O desenvolvimento do fundamento da potência foi criado inicialmente por volta do século XVII, pelo matemático René Descartes (1596-1650).

Veja como funciona o cálculo da potência:

23 = 2 x 2 x 2= 8

2= base

3= expoente

2 x 2 x 2 = produto de fatores

8= potência

Propriedades dos Logaritmos

Algumas propriedades são importantes para resolução de equações logarítmicas mais específicas. São elas: as expressões logarítmicas de um produto, de quociente, de uma potência e mudança de base.

Função do logaritmo
Propriedades dos logaritmos. (Foto: Guia Estudo)

Confira cada um dos exemplos:

Logaritmo de um produto: é o resultado da soma dos logaritmos: Loga (b.c) = Logab +Logac

Logaritmo de quociente: é o resultado da subtração dos logaritmos: Loga (b/c) = Logab – Logac

Logaritmo de uma potência: é o resultado do produto dessa mesma potência pelo logaritmo: Logabm=m. Logab

Mudança de base: é possível mudar a base de um logaritmo através da relação a seguir: Logbc= logac/ logab

Logaritmo Neperiano

Esse tipo de logaritmo faz referência ao seu inventor, o pesquisador e matemático John Napier. Também conhecido por logaritmo natural, é formado por uma base com números irracionais, chamado de número de Euler. Exemplo: 2,718221… Também consiste na função contrária à exponencial.

Aprenda a fazer o cálculo do logaritmo natural, considerando logex = In x:

Logex= logx/loge <> logex= logx/0,43 <> logex= 1/0,43 * logx <>

Logex=2,3*logx

Logaritmo Comum

É o tipo mais comum, principalmente utilizado nas escalas logarítmicas, além de ter como característica predominante o uso da base 10.  São representados para cálculos da escala Richter, grau de magnitude de terremotos, dentre outros exemplos.

Acompanhe a resolução de uma equação logarítmica na base 10:

Log10 (x+1) +1 = log10 (x2 +35)

Log10 (x+1) +log10 10= log10 (x2+ 35)

Log10 (10x+10) = log10 (x2+ 35)

10x +10 = x2+ 35

x2  – 10x + 25 = 0

X= 5

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

Neves, Juliete. Logaritmo; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/logaritmo >. Acesso em 30 de janeiro de 2020 às 01:33.

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