Matriz Inversa

Tipo específico de matriz com número idêntico de linhas e colunas

A matriz inversa, também denominada de matriz invertível, é um tipo específico das matrizes que resulta nas operações matriciais do tipo A . X = B.

Como nesse tipo de operação não é possível realizar a divisão dos seus elementos, os matemáticos encontraram métodos possíveis para identificar a sua invertível.

Lembrando que para cada matriz somente é possível encontrar uma única matriz inversa, da mesma forma que é feito para encontrar o inverso de um número real qualquer.

O cálculo deste tipo de matriz irá resultar na inversa de mesma ordem, ou seja, mesmo número de linhas e colunas. A matriz identidade, portanto, é aquela em que todos os elementos da sua diagonal principal são equivalentes ao número um (1) e todos os outros elementos são equivalentes a zero (0).

O que é matriz inversa

Uma matriz inversa é aquela representada da mesma forma que a sua matriz original, ou seja, seja uma dada matriz com a mesma quantidade de linhas e colunas, a matriz de mesma ordem também será quadrada, chamada de matriz identidade.

Importante notar que uma matriz pode não ser inversível, pois, de acordo com suas características, pode não ser possível identificar a sua inversa.

Se uma matriz A possuir inversa, pode-se dizer que A é inversível, sendo que a sua inversa é uma matriz única. Se A não for inversível, diz-se que A é uma matriz singular.

Para identificar se uma matriz é inversível, é necessário primeiro encontrar seu determinante. Sendo este determinante diferente de zero, pode-se afirmar que é uma matriz inversível.

Dessa maneira, é correto afirmar que somente uma matriz quadrada possui inversa, já que somente pode-se calcular o determinante de uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada são aquelas matrizes que possuem a mesma quantidade de linhas e colunas.

Calculando a inversa de uma matriz

O cálculo desse tipo de matriz é realizado a partir do método de resolução por sistemas lineares.

Como visto na explanação acima, a multiplicação de uma matriz pela sua inversa tem como resultado uma matriz identidade. Por meio disso é possível criar um sistemas lineares e calcular a inversa da matriz em questão.

Abaixo, há um exemplo de cálculo da matriz inversa de ordem 3 com a identificação do seu determinante. Acompanhe:

Exemplo: Calculando uma matriz de ordem 3, ou seja, composta por três linhas e três colunas, considere a matriz A a seguir e calcule a sua inversa A-1:

representação de uma matriz inversa
Uma matriz de ordem 3 possui três linhas e três colunas.

O cálculo da matriz quadrada de ordem 3 é feito a partir da regra de Sarrus.

multiplicação de matrizes
Multiplicação da matriz de ordem 3.

Identificando seu determinante, tem-se:

Det (A) = 2 . 1 . 1 + 1 . 0 . 1 + 0 . 0 . 2 – 0 . 1 . 1 – 2 . 0 . 2 – 1 . 0 . 1 = 2, como det (A) ≠ 0, então A é inversível.

Usando a definição de matriz inversa: A . A-1 = In , a partir de agora basta substituir os elementos, depois de encontrar o determinante e utilizar a fórmula.

fórmula de multiplicação das matrizes
Aplicação da fórmula na multiplicação de matrizes.

Multiplicando A por A -1 encontra-se o seguinte resultado:

multiplicação da matriz
Resultado da multiplicação.

Fazendo a multiplicação entre os elementos respectivos entre o lado esquerdo com os elementos da matriz identidade do lado direito, obtém-se os seguintes resultados:

Aplicação dos sistemas lineares
Sistema obtido a partir da multiplicação.

Basta resolver o sistema desenvolvido acima:

sistema de cálculo da matriz
Resultado do sistema.

Tem-se, portanto, que a matriz inversa de A, após a substituição dos elementos e aplicação dos sistemas lineares é equivalente a:

resultado da matriz
Resultado.

Resumo sobre matriz inversa

Este tipo de matriz resulta nas operações matriciais do tipo A . X = B. Quando se calcula uma matriz inversa de qualquer tipo, seu resultado será a inversa de mesma ordem, com mesmo número de linhas e colunas. Sendo assim, é correto afirmar que somente uma matriz quadrada possui inversa.

Para se calcular este tipo de matriz é realizado método de resolução de sistemas lineares.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

Neves, Juliete. Matriz Inversa; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/matriz-inversa >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 22:11.

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