Matriz Transposta

A matriz transposta de uma matriz A qualquer é aquela que apresenta os mesmos elementos da matriz A, entretanto, ordenados de maneira diferente da original.

A oposta é resultante de uma reorganização dos elementos de uma linha A para a coluna de uma matriz B. Logo, os termos que fazem parte da linha na primeira será os mesmos que irão compor as colunas da segunda.

Dessa maneira, representando matematicamente estas matrizes, tem-se matriz A = (aij) m x n a transposta de A é At = (a’ji) n x m.

Sendo que cada um dos símbolos representam os seguintes termos:

i: posição do elemento na linha da matriz
j: posição dos elementos na coluna da matriz
a_ij: um elemento da matriz na posição representada por ij
m: número de linhas que compõem a matriz
n: número de colunas que integram a matriz
A^t: representa a matriz transposta de A

Importante perceber que a matriz A é de ordem m x n, mas a formação da sua transposta At é de ordem n x m.

Para construir a matriz transposta corretamente, deve-se transcrever todas as colunas de B como linhas de B^t. O exemplo é apresentado no esquema abaixo:

Propriedades da Matriz Transposta

–> (A^t)^t = A: essa simbologia aponta que toda transposta de uma matriz transposta qualquer será sempre  a matriz original.

–> (A + B)^t = A^t + B^t: dada a transposta da soma de duas matrizes esse resultado é igual a soma da transposta de cada uma delas separadamente.

–> (A . B)^t = B^t . A^t: diferente da regra da soma de matrizes, a transposta da multiplicação de matrizes é igual ao resultado da multiplicação das transpostas de cada uma delas, sendo que será em ordem inversa.

–> det (M) = de^t (M^t): por fim, o determinante da matriz transposta é equivalente ao determinante da matriz original. Não há diferença nesse caso.

Ao identificar o determinante de uma matriz, o da sua transposta terá o mesmo valor correspondente à matriz de origem.

Classificação de matrizes

Além da transposta, objeto de estudo deste artigo, há também outros tipos de definições e aplicações com matrizes.

Matriz Simétrica

Chama-se matriz simétrica uma matriz quadrada, ou seja,  em que o número de linhas é igual ao número de colunas, com a seguinte relação de igualdade: a_ij = a_ji.

A transposta de uma matriz simétrica A é a própria matriz A. Logo,  A = At.

Matriz Oposta

Chama-se matriz oposta de A, a matriz –A (com inclusão de sinal negativo). A matriz oposta é resultante de outra matriz com a troca dos sinais dos elementos que integram a matriz original sem alterar a posição de cada um dos termos.

Importante! A matriz oposta é diferente da transposta. Nela, apenas troca-se o sinal dos elementos sem trocar a posição de cada um deles.

Matriz Antissimétrica

Uma matriz quadrada assimétrica qualquer é assim classificada se A quando for igual a oposta da transposta de A. Logo, entende-se que: A = -At. Então, a expressão matemática da antiassimétrica  é dada por: a_ij = -a_ji.

Os elementos que constituem a diagonal principal de uma matriz antissimétrica são obrigatoriamente nulos, ou seja, equivalem a zero e os elementos que não pertencem a diagonal principal possuem sinais inversos.

Saiba mais sobre matrizes

De uma maneira geral, as matrizes são organizações matemáticas dispostas numericamente em uma tabela retangular formada por linhas e colunas.

Tal  organização permite que sejam realizadas vários tipos de operações com matrizes, dentre elas estão a soma, subtração, além da multiplicação de matrizes.

Dessa maneira, os elementos da matriz A são representados por a_ij, onde o “i” indica o índice da linha e “j” representa o índice da coluna para o elemento em questão.

Assim, para localizar um elemento na coluna procura-se o número da linha e da coluna.  Esses números são os dados pelas letras “i” e “j”.

Além da representação mostrada acima,  uma matriz também pode ser expressa de maneira abreviada, com a mesma facilidade de escrita. A forma abreviada é expressa, matematicamente, como mostra o exemplo a seguir:

Exemplo:

Considere a matriz M = [a_ij]2×3 tal que a_ij = i + j. Representativamente, são dados os elementos da matriz e cada um dos seus termos.

 Observe que esta é uma matriz retangular (2 linhas e 3 colunas). Os elementos da matriz é a soma dos índices (posição) das linhas e colunas. Assim:

• a₁₁ = 1 + 1 = 2.
• a₁₂ = 1 + 2 = 3.
• a₁₃ = 1 + 3 = 4.
• a₂₁ = 2 + 1 = 3.
• a₂₂ = 2 + 2 = 4.
• a₂₃ = 2 + 3 = 5.