Matrizes

Valores numéricos ordenados por linhas e colunas

Matrizes são informações numéricas estruturadas em tabelas formadas por linhas (horizontais) e colunas (verticais). Esse arranjo possibilita a execução de diversos cálculos ao mesmo tempo.

Elas podem ser representadas por colchetes, parênteses, barras simples ou barras duplas.

Representação da matriz
Matriz e seus modelos.

Componentes da matriz

As tabelas mxn (“m por n”) são classificadas como matrizes. Cada número é determinado por aij, no qual o i significa a posição do número na linha, e j a posição na coluna.

As linhas são numeradas da esquerda para a direita, e as colunas de cima para baixo. Na figura abaixo, vemos que o a1,1 está presente na primeira linha e segunda coluna, o a2,1 na segunda linha e primeira coluna, o a2,n na segunda linha e coluna n, e assim por diante.

Estrutura da matriz
Estrutura de uma matriz.

As matrizes possuem duas diagonais, uma principal e a outra secundária. A diagonal principal é composta pelos números em que i = j. Já a secundária, é formada pelo resultado das somas de i com j.

Diagonais da matriz
Diagonais da matriz.

Tipos de Matrizes

Algumas matrizes são tidas como especiais por causadas suas formas. Entre elas, destacam-se:

Linha

Categoria que apresenta somente uma linha (m = 1), por exemplo:

C = [8,10,12]

C é uma matriz de 1 por 3

Coluna

Matriz composta por apenas uma coluna (n = 1).

Exemplo de matriz coluna
Exemplo de matriz coluna.

 

A é uma matriz de coluna de 3 por 1.

Nula

Todos os elementos da matriz são iguais a zero.

Exemplo de matriz nula
Exemplo de matriz nula.

Neste caso, A é uma matriz nula de 3 por 3.

Quadrada

Uma matriz é classificada de linha quando o número de colunas for igual ao de linhas. Em uma quadrada mn, a ordem será n. Ou seja, em uma matriz 3 por 3, por exemplo, a ordem é 3.

Exemplo de matriz quadrada
Exemplo de matriz quadrada.

Na matriz de ordem n os elementos de i = j compõem a diagonal principal. Já os números de i + j = n + 1 formam a secundária.

Diagonal

Exemplo de matriz diagonal
Exemplo de matriz diagonal.

É uma matriz da quadrada no qual os elementos que não integram a diagonal principal são iguais a zero (nulos).

Identidade

Também chamada de unidade, é um tipo de matriz quadrada e diagonal. Ou seja, os elementos que não integram a diagonal principal são iguais a zero, e os que pertencem são iguais a 1. É representada pela letra I e possui ordem n.

Exemplo de matriz identidade
Representação de matriz identidade.

O exemplo acima é uma matriz identidade de ordem 3.

Inversa

Outro tipo de matriz quadrada que funciona quando duas matrizes dão origem a uma matriz identidade com a mesma quantidade de linhas e colunas.  

Exemplo de matriz inversa
Exemplo de matriz inversa.

Fique atento nas seguintes regras:

  • Cada matriz possui somente uma inversa;
  • Podem ser invertidas quando o produto de matrizes quadradas resultarem em uma quadrada (In). Por isso, nem todas elas apresentam inversas;
  • A inversa da inversa é a matriz original:  A = (A-1)-¹;
  • A inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade: I-¹ = I.

Oposta

São matrizes com os sinais dos elementos trocados. Isto é, se uma matriz é A, a sua oposta será – A.

Exemplo de matriz oposta
Exemplo de matriz oposta.

Transposta

A transposta possui os mesmos elementos de uma determinada matriz original, mas colocados em ordens diferentes. Ela é formada pela troca dos elementos das linhas da original pelas suas colunas. Ou seja, se a matriz for A, a transposta será A elevado a t.

Na matriz de ordem 3 por 2 a sua transposta será 2 por 3, pois todas as colunas de A passarão para linhas de A elevado a t. Vejamos no exemplo:

Exemplo de matriz transposta
Exemplo de matriz transposta.
  • A transposta da transposta é uma matriz original;
  • A transposta da soma de duas matrizes é a igual a soma da transposta de cada uma separadamente;
  • Uma matriz é considerada simétrica quando é igual a sua transposta;
  • Uma matriz quadrada é ortogonal quando a sua transposta for igual a inversa. 

 Operações com matrizes

Operações matemáticas podem ser aplicadas em matrizes. Entenda cada uma delas:

Igualdade

Matrizes de ordem mxn são iguais quando seus elementos são iguais. Isto é:

Lei da identidade de uma matriz
Lei da identidade.

Exemplo:

Exemplo de identidade da matriz
Identidade entre matrizes.

Adição

Para somar duas ou mais matrizes deve-se unir os elementos de cada uma delas, ou seja, adição de linha com linha, e coluna com coluna.

Aplicação do modelo de soma
Aplicação da soma.

As propriedades da soma de matrizes são:

  • Comunicativa: A + B = B + A
  • Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
  • Número neutro: A + N = N + A = A
  • Número oposto: A + (-A) = (-A) + A = N

A subtração funciona da mesma forma que a soma.

Multiplicação

Os elementos da linha de uma matriz são multiplicados pelos da coluna da outra, resultando em uma matriz dada pela soma das multiplicações. Entenda:

Multiplicação da matriz
Aplicação da multiplicação.
  • A multiplicação é possível caso o número de linhas de uma matriz seja igual à quantidade de colunas da outra;
  • A matriz resultante deve ter o mesmo número de linhas da primeira matriz, e mesma quantidade de colunas da segunda.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

, . Matrizes; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/matrizes >. Acesso em 24 de setembro de 2020 às 16:37.

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