Multiplicação e Divisão de Frações

A multiplicação e divisão de frações são operações básicas que servem para simplificar os numerados e denominadores – termos que representam as partes de um inteiro.

Como as frações integram o conjunto dos números racionais e são representados pela razão de dois números inteiros, a multiplicação e divisão são efetuadas das seguintes maneiras:

Multiplicação 

Entre a multiplicação e divisão de frações, o primeiro método é o mais simples.

Diferentemente da soma e subtração, que necessitam dos cálculos do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) para encontrar o denominador em comum, na multiplicação basta multiplicar numerador com numerador, e denominador com denominador.

Vejamos a seguir:

7/4. 5/2 = 7.5 / 4.2 = 35/ 8 

– 4/3 . 8/3 = – 4.8 / 3.3 = – 32/ 9

Vale destacar que essa regra da multiplicação serve para duas ou mais frações:

2/6 . 9 . 10/5 = 2.9.10 / 6.1.5 = 180/ 30 = 6

1/3 . 2/5 . 11. 7 = 1.2.11.7 / 3.5 = 154/ 15

Reparem que nas frações acima, três delas não apresentam denominadores, mas as operações foram feitas normalmente. Isso acontece porque todos os números naturais podem ser escritos em forma de fração.

Por exemplo, o 4 pode ser representado por 4/1 , uma vez que os números naturais são divisíveis por 1. Como o quociente da divisão é o próprio numerador, o denominador (1) não precisa aparecer.

Divisão 

A divisão de frações também envolve a simplificação dos numeradores e denominadores (números que ficam na parte superior e inferior), mas, para tal, é preciso seguir a regra:

Deve-se manter a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda (o numerador vai para o denominador, e vice-versa). 

Exemplos:

2/5: 3/7 = 2/5 . 7/3 = 14/15

4/9: 6 = 4/9. 6/1 = 4/54 = 2/27

• 1° passo: copia-se a primeira fração
• 2°: passo: inverte-se a segunda fração, pois todo número natural é uma fração
• 3° passo: realiza-se a multiplicação
• 4° passo: simplifica-se o resultado final até alcançar uma fração irredutível

Assim como na multiplicação, a regra da inversão funciona para duas ou mais frações, ou seja, na divisão de várias frações simultaneamente o processo é o mesmo: conserva-se a primeira e multiplica-se a inversa das outras.

Exemplos:

9/2 : 7/3: 1/3 = 9/2 . 3/7 . 3 = 81/14

– 7/8 : 5/6: 3/4 = – 7/8 . 6/5 . 4/3 = – 168/120

Simplificando a fração:

(- 168/120) : 4 = (- 42/30): 2 = (- 21 /15): 3 = – 7/5

Multiplicação e divisão de frações

Agora que sabemos como funciona a multiplicação e divisão de frações, vamos resolver algumas questões:

a – 7/8. 9:3 = 

7/8. 9. 1/3 = 7. 9.1/ 8. 3 = 63/24 

Simplificando a fração:

(63/24): 3 = 21/8

Observa-se que neste caso as frações são multiplicadas e divididas ao mesmo tempo. Logo, a resolução é feita com base nas regras de cada operação.

Confira outro exemplo:

b – 2/3. 5 : 6/8 = ?

2/3 . 5. 8/6 = 2.5.8/ 3.1.6 = 80/18

Simplificando a fração:

(80/18) : 2 = 40/9 

c – 1/2 + 1/2 . 3/4 =?

1/2 + 3/6 

Para resolver a expressão acima será necessário aplicar um dos métodos da soma de frações. Como neste caso os denominadores são diferentes (2 e 6), a adição dependerá Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre denominadores, que funciona da seguinte maneira:

Encontrar o MMC de 2 e 6:

2, 6 | 2

1, 3 | 3

1, 1| MMC: 2.3 = 6

Feito o MMC, deve-se dividir o valor resultante (6) pelos denominadores das frações (2 e 6). Com o quociente dessa divisão, multiplica-se pelos numeradores (1 e 3):

1/2 + 3/6 = (6:2.1) + (6: 6.3) / 6 = 3+3/6 = 6/6 = 1

Além desse procedimento, é possível realizar a soma pela multiplicação dos denominadores, ou seja:

1/2 + 3/6 = (12:2.1) + (12: 6.3) / 12 = 6+6/12 = 12/12 = 1

d– 1/2 . 19/7: 2/4 – 1/6 + 3= ?

MMC 4 e 6:

4, 6 | 2

2, 3 | 2

1, 3,| 3

1, 1| MMC: 2.2.3 = 12

19/14 : (12: 4.2) – (12:6.1) / 12 + 3 = 

19/14 : 6-2/12 + 3 =

19/14 : 4/12 +3 =

19/14 . 12/4 +3 = 

228/ 56 +3 =

Simplificando a fração:

(228/56): 2 = (114/28):2 = 57/14

57/14 + 3 =

(14: 14.57) +(14:1.3) / 14 = 

57+ 42/14 = 99/14