Números Reais

Os números reais formam um grande conjunto que inclui outros quatro: números racionais, números irracionais, números naturais e números inteiros. Essa composição corresponde aos números positivos, negativos, números decimais, fracionários, zero, além das dízimas periódicas e não periódicas.

Uma das principais características dos números reais é a sua infinidade, no sentido de densidade. Afinal, o infinito é considerado um conceito imaginário, logo não faz parte do conjunto dos números reais, mas sim dos números complexos.

No entanto, pode-se ao dizer que no intervalo > 2 existe uma x quantidade infinita de números pertencentes ao conjunto dos reais (1,1; 1,2; 1,34; 1,452, …).

Conjunto dos números reais

O modo de organização dos conjuntos numéricos ainda é uma dúvida de muitos estudantes. Se você faz parte desse grupo observe abaixo a imagem e a descrição de cada conjunto.

• Conjunto dos números naturais (N): números positivos e o zero. Exemplo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…};

• Conjunto dos números inteiros (Z): números positivos, negativos e o zero. Exemplo:

Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,…};

• Conjunto dos números racionais (Q): números naturais, inteiros, decimais, frações e dízimas periódicas. Exemplo:

Q = {… -3; -2,5; -1, 0, 1/2; 1; 1,8; 2 …};

• Conjunto dos números irracionais: números decimais, infinitos e não-periódicos que não podem ser representados por frações. Exemplo:

I = { -2,345…; -1,452…; √3…}.

• Já o conjunto dos números complexos (Z) não faz parte dos números reais. Este primeiro é formado por uma parte real e uma parte imaginária e engloba, por exemplo, a raiz quadrada de números negativos.

Em relação ao conjunto dos números reais, podemos fazer algumas afirmações:

1. Todo número natural também é um número real, já que os números naturais são também números racionais;
2. Todo número inteiro também é um número real, já que os números inteiros são também números racionais;
3. Todo número decimal também é um número real, já que os números decimais pertencem ao conjunto dos números racionais ou dos números irracionais;
4. Toda raiz é um número racional ou irracional. Sendo assim, pertence ao conjunto dos números reais.

Relação entre conjuntos

Alguns símbolos são utilizados para estabelecer relações entre os elementos de dois ou mais conjuntos. Veja abaixo:

• N ⊂ C: os números naturais estão contidos nos números reais;
• R ⊄ N: os números reais não estão contidos nos números naturais;
• I U Q = R: a união dos números irracionais com os racionais é igual aos reais;
• I ∩ R = I: a intersecção dos números irracionais com os reais é igual aos irracionais.

Propriedades dos números reais

Os números reais obedecem algumas propriedades que relacionam-se com as operações matemáticas, principalmente adição e multiplicação. Veja abaixo:

• Comutativa: de acordo com essa propriedade, a ordem dos números não interfere no resultado final da operação. Sendo assim, dados os números a e b, temos:

a + b = b + a e a.b = b.a

• Associativa: operações que envolvam mais de dois números, devem ser solucionadas de dois a dois, contudo o reagrupamento não altera o resultado. Sendo assim, dado os números a, b e c, temos:

(a + b) + c = a + (b + c) e a(bc) = (ab)c

• Distributiva: essa propriedade envolve duas operações ao mesmo tempo. De modo que, a soma dos produtos será igual ao produto da soma, seguindo o seguinte cálculo:

a (b + c) = ab + ac e (b + c) a = ba + ca

• Elemento neutro: essa operação refere-se aos elementos que não geram influência dentro de uma operação. Se na soma esse elemento corresponde a 0 e na multiplicação o elemento neutro é 1, temos:

a + 0 = a e a .1 = a

• Elemento inverso: a regra para essa propriedade é que para todo número real existe um inverso, sendo que o resultado entre os dois será sempre um elemento neutro.

A soma de um número a e seu inverso -a é dada por: a+(-a) = 0;

A multiplicação de um número a e seu inverso -a é dada por: a· (– a) = 1, em que – a = 1/a.

Resumo sobre números reais

Números reais são o conjunto formado por outros quatro tipos de números, sendo: racionais, irracionais, naturais e inteiros.

A infinidade é uma das principais características deste conjunto de números. Contudo, o infinito faz parte dos números complexos pois é considerado um conceito imaginário.

Com isso, pode-se ao dizer que no intervalo > 2 existe uma quantidade infinita de números que pertencem ao conjunto dos números reais (1,1; 1,2; 1,34; 1,452, ...).