Potenciação

Operação em que os números naturais são multiplicados várias vezes por ele mesmo

Potenciação, também chamada de exponenciação, corresponde a multiplicação de sequências com fatores iguais. Ou seja, multiplica-se um determinado número por ele mesmo sucessivas vezes.

Para cada número real (a) e outro natural (n) – sendo n maior que 1 – define-se de potência a base a, e de expoente o número de n. Sendo assim, a formação é dada por:

an = a.a.a.a…a

Para entender melhor a potenciação, vejamos o exemplo:

34 = 3.3.3.3 = 81

Sendo,

3: base

4: expoente

81: potência (quociente da multiplicação sucessiva)

Na demonstração acima, lê-se três elevado à quarta potência ou a quarta potência de três.

Alguns números são identificados como quadrados perfeitos, pois são o resultado da multiplicação de dois elementos iguais e de uma raiz quadrada exata. Os números naturais 4,36 e 144 são exemplos dessa categoria, já que 22 = 4; 62 = 36; e 122 = 144.

Tipos de Potenciação

Como já vimos, a potenciação é uma forma de abreviação da quantidade de vezes que um certo número é multiplicado. A partir dessa definição inicial, vamos conhecer as categorias da potência.

Expoente positivo e inteiro

Quando m e n são números que pertencem ao grupo dos naturais (N), e a e b ao conjunto dos reais (R ), temos:

am = a.a.a…a

53 = 5.5.5 = 125

72 = 7.7 = 49

Expoente igual a 1

Todas as potências com expoentes 1 resultam no valor da própria base. Ou seja:

a1 = a

81 = 8

141 = 14

Expoente igual a zero

Todas as potências com expoentes iguais a zero serão iguais a 1.

a0 = 1

200 = 1

Expoente negativo

As potências com expoente negativo são o inverso das que possuem expoente positivo. Isto é:

Potenciação com expoente negativo.
Potenciação com expoente negativo.

Além desses, existem casos específicos de potenciação. São eles:

a = 0 e n > 0:  an = 0

a = 0 e n < 0: não existe an ∈ R

a > 0:  an > 0

a < 0 e n par:  an > 0

a < 0 e n ímpar: an < 0

Características da potenciação

Considerando as bases a e b, e os expoentes m e n, temos as seguintes propriedades:

Caso a base de uma potência seja negativa e seu expoente um número ímpar, o resultado será negativo: (- 3)3 = (-3). (-3).(-3) = – 27.

Caso a base seja negativa e o expoente um valor par, o resultado será positivo: (-11)2 = (-11). (-11) = 121.

Em frações o numerador e denominador são elevados ao expoente: (2/7)4 = (24/ 74) = 16/2401.

Potências de base 10 o resultado é o número 1 mais a quantidade de zeros de acordo com o expoente:106 = 1000000.

Operações com potências

É importante saber as operações matemáticas envolvendo potências. Entenda cada uma delas.

Na multiplicação de potências com bases iguais é necessário conservar as bases e somar os expoentes:

am. an = am+n

23. 25 = 23+5 = 28 = 256

Na divisão de potências com mesma base, conserva-se as bases e subtrai-se os expoentes:

am / an = am-n

55 / 53 = 55-3 = 52 = 25

Em potência de potência (base elevada a duas potências), conserva-se as bases e multiplica-se os expoentes:

(am)n = am.n

(32)4 = 32.4 = 38 = 6561

Em potências de produtos, deve-se elevar cada base ao valor do expoente:

(a . b)n = (an . bn)

(1 . 6)2 = (12. 62) = 1.36 = 36

Na multiplicação de bases diferentes, porém elevadas ao mesmo valor de expoente, conserva-se os expoentes e multiplica-se as bases:

(an . bn) = (a . b)n

(32. 52) = (3. 5)2 = 152 = 225

Na multiplicação de bases iguais, elevadas a expoentes de valores e sinais diferentes, conserva-se as bases e soma- se os expoentes:

(a-m. am) = a (-m) + n

25. 2-3 = 25+(-3) = 22 = 4

Em potência de potência, cujo os sinais dos expoentes são diferentes, conserva-se as bases e multiplica-se os expoentes:

(am)-n = am. (-n)

(42)-1 = 42.(-1) = 4-2 = (1/4)2 = 1/16

Quando as potências possuem expoentes fracionários deve-se transformá-las em raiz quadrada, no qual o os numeradores e denominadores dos expoentes serão os índices e radicando:

Exemplo de expoente fracionário.
Exemplo de expoente fracionário.

Já quando a base da potência é uma raiz o expoente da potenciação passa a ser do radicando:

Exemplo de potência com raiz
Exemplo de potência com raiz.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

SANTOS, Thamires. Potenciação; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/potenciacao >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 22:11.

Copiar referência

Outros Artigos de Matemática

O sistema da Blockchain possibilita o uso de Bitcoins no mundo todo.

Bitcoin

Bitcoin é uma criptomoeda utilizada em transações financeiras virtuais sem […]

Engenho de açúcar

Sistema Plantation

Sistema plantation é um sistema descendente do período colonial europeu […]

Colheita de plantação

Sistemas agrícolas

Os sistemas agrícolas formam o conjunto de atividades técnicas, econômicas […]

Setores da economia

Os setores da economia existem para medir o desenvolvimento econômico […]