Progressão Geométrica

Sucessão de números reais

Progressão Geométrica (PG) é uma continuidade numérica dada pela razão (q) entre um número e outro, menos o primeiro. Em outras palavras:

(a1, a2, a3, a4, …, an)

Uma progressão geométrica também é feita pela multiplicação da própria razão (q), sendo o resultado o próximo número da sequência. Entenda nos exemplos:

PG: (2,4,8,16,32,64, …)

Neste caso, pode-se observar que o número que determina seu consecutivo é o dois, ou seja, a sequência do exemplo acima é um PG de razão igual a dois (q = 2).

Na PG (5, 25, 125, 625, …) a razão é 5 (q = 5), pois 5 x 5 = 25; 25 x 5 = 125; 125 x 5 = 625 e assim sucessivamente. A razão de uma progressão geométrica sempre será constante e racional (números positivos, negativos e frações), exceto o valor de zero.

Tipos de Progressões Geométricas

A depender dos valores da razão, as progressões podem ser classificadas das seguintes maneiras:

PG crescente

Na progressão crescente a razão é maior que zero (q > 0) e composta por termos crescentes:

PG: (5,15,45,135,405, …)  no qual q = 3

PG decrescente

Na decrescente, a razão é maior ou diferente de zero e composta por termos em forma decrescente, isto é, os valores da sequência sempre serão menores que seus antecessores:

PG : (- 4, -16,- 64, – 256…) no qual q = 4

PG constante

Na constante, a razão sempre será igual a 1.

(6,6,6,6,6…) no qual q = 1

PG oscilante

Na oscilante, a razão sempre será negativa e a sequência alternará entre termos positivos ou negativos:

PG:(2, -4, 8, -16, 32, 64…) no qual q = – 2

PG quase nula

Nessa progressão geométrica somente um elemento da sequência será diferente de zero:

PG: (2,0,0,0,0, 0…)

Outro tipo de série numérica é a progressão aritmética. Nessa categoria, cada termo é dado pela soma do número anterior, resultando na razão (r). 

Termo Geral

Para determinar os valores da progressão geométrica, aplica-se a fórmula:

Progressão Geométrica - Fórmula do termo geral
Fórmula do termo geral.

Sendo:

an: valor desconhecido
a1: primeiro número da sequência geométrica
q: razão elevada ao número desconhecido menos 1

No exemplo a seguir vamos encontrar o 30° termo da progressão geométrica com q = 2 e de sequência inicial 6.

PG: (6,12, 24, 48, 96,192…)

Progressão Geométrica - Cálculo do termo desconhecido.
Cálculo do termo desconhecido.

Vejamos outra aplicação:

Sabendo que a = 4 e q = 3, vamos encontrar o 5° termo da progressão:

PG: (4, 12, 36,108…)

Progressão Geométrica - Cálculo do termo desconhecido
Cálculo do termo desconhecido.

Soma dos Termos

Pode-se também realizar a soma dos valores presentes em uma progressão geométrica finita ou infinita a partir da fórmula:

Fórmula da soma
Fórmula da soma dos termos.

Sendo:

Sn: Soma dos valores da PG
a1: primeiro termo da sequência geométrica
q: razão
n: número de termos da PG

Dessa maneira, para calcular a soma dos 7 primeiros termos da PG: (25, 125, 625…):

a1 = 25 ;  q = 5 ; n = 7

Aplicação da fórmula.
Aplicação da fórmula.

 

Já para somar os termos de uma progressão infinita, quando a razão q for entre os valores -1 e 1 ( -1 < q < 1), tem-se a seguinte fórmula:

Fórmula da PG infinita.
Fórmula da PG infinita.

Sendo assim, a soma dos termos de uma PG infinita (1, 1/3, 1/9,…) é:

a1 = 1; q = 1/3

Fórmula da soma
Soma na PG infinita.

Além das somas, é possível determinar o produto dos termos de uma progressão. Para isso, basta utilizar a fórmula:

Fórmula do produto.
Fórmula do produto.

Sendo:

Pn: produto dos valores da PG.
n: quantidade de termos
a1: primeiro termo da sequência geométrica

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

SANTOS, Thamires. Progressão Geométrica; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/progressao-geometrica >. Acesso em 28 de outubro de 2019 às 15:14.

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