Razões trigonométricas

Razões trigonométricas ou relações trigonométricas referem-se às possíveis divisões entre as medidas dos dois lados de um triângulo retângulo. As principais razões são denominadas de seno, cosseno e tangente.

Observe na imagem abaixo que as relações trigonométricas são definidas pela razão entre os lados e o ângulo triângulo retângulo. Sendo assim:

• Seno (sen) = cateto oposto/hipotenusa
• Cosseno (Cos) = cateto adjacente/hipotenusa
• Tangente (Tg) = cateto oposto/cateto adjacente

Trigonometria e triângulo retângulo

O termo trigonometria tem origem nas palavras gregas trigōnon (triângulo) e metron (medida). Essa área da matemática é responsável pelo estudo das relações entre os lados e ângulos do triângulo, em especial o triângulo retângulo.

O triângulo retângulo, por sua vez, é uma figura que pertence à geometria plana. Ele é formado por um ângulo reto (90º) e dois ângulos agudos (menores que 90º), sendo que a soma dos seus ângulos internos deve ser igual a 180°.

Esse polígono é formado por três lados, definidos de acordo com a posição do ângulo reto. Observe a imagem abaixo:

• Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo de 90º;
• Cateto adjacente: lado próximo ao ângulo de 90º;
• Cateto oposto: lado contrário ao ângulo de 90º.

Razões trigonométricas

As razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente estão relacionadas com as medidas dos lados e dos ângulos do triângulo retângulo. Tais elementos, ainda são considerados funções periódicas, pois ocorrem em determinados intervalos de tempo.

• Seno (sen) – corresponde a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa do triângulo retângulo, identificado através da seguinte fórmula:

Sen = cateto oposto/hipotenusa

• Fórmula da função seno: f(x) = senx
• Domínio da função seno: D = R
• Imagem da função seno: Im = [ -1,1]
• Período da função seno: 2 π

• Cosseno (cos) – corresponde a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa de um triângulo retângulo, identificado através da seguinte fórmula:

Cos = cateto adjacente/hipotenusa

• Fórmula da função cosseno: f(x) = cosx
• Domínio da função cosseno: D = R
• Imagem da função cosseno: Im = [ -1,1]
• Período da função cosseno: 2 π

• Tangente (Tg) – corresponde a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente de um triângulo retângulo, identificado através da seguinte fórmula:

Tg = cateto oposto/cateto adjacente

• Fórmula da função tangente: f(x) = tgx
• Domínio da função tangente: D = R
• Imagem da função tangente: Im = [-∞, ∞]
• Período da função tangente: π

Ângulos notáveis

Alguns ângulos aparecem com frequência em problemas trigonométricos, por isso eles são denominados ângulos notáveis. Conhecer os valores do seno, do cosseno e da tangente desses ângulos facilita alguns cálculos:

Memorizar essa tabela é muito importante. Veja abaixo algumas dicas para nunca mais esquecer os valores de seno, cosseno e tangente:

1 - Lembre-se sempre da palavra ‘COCA”:

Seno: CO/h

Cosseno: CA/h

Tangente: CO/CA

2 - Ou lembre-se da palavra “Soh cah toa”:

[S]eno = cateto [o]posto/[h]ipotenusa

[C]osseno = cateto [a]djacente/[h]ipotenusa

[T]angente = cateto [o]posto/[a]djacente

3 - Posição do seno e cosseno:

“Quem tá de pé tá sem sono, quem tá deitado tá com sono”. A frase indica o cosseno no eixo x e o seno no eixo y.

Valores das razões trigonométricas

Seno, cosseno e tangente sempre terão como resultados números reais que variam de acordo com o ângulo α. Considerando dois triângulos retângulos que têm um ângulo com a medida α, eles são semelhantes.

Deste modo, os valores dos resultados das razões trigonométricas observadas nesses dois triângulos serão iguais, já que são proporcionais.

Por exemplo, o triângulo com ângulo de 30º, o seno de 30° sempre será igual a 1/2, pois no polígono que possui um ângulo de 30°, a hipotenusa corresponde ao dobro do comprimento do cateto oposto a esse ângulo.

Aplicação

Agora que você já conhece os principais ângulos utilizados em cálculos com razões trigonométricas, vamos encontrar o valor de α desse triangulo retângulo. Mas lembre-se! α é o cateto oposto ao ângulo de 30° e 2 é a medida da hipotenusa do triângulo.

Já que cateto oposto e hipotenusa são identificáveis, a razão trigonométrica adequada para esse cálculo é do seno.

Sen30º = cateto oposto/hipotenusa = a/2

De acordo com a tabela de ângulos notáveis, o seno de 30º equivale a 0,5. Ao ser substituído na expressão, teremos:

Sen30º = a/2

0,5 = a/2

2·0,5 = a

a = 2·0,5

a = 1