Relações métricas no triângulo retângulo

As relações métricas no triângulo retângulo são a medidas correspondentes em um triângulo retângulo. Ou seja, são expressões que relacionam as medidas dos lados para encontrar um valor não conhecido. Assim, por meio do valor da altura relativa e dos catetos será possível, por exemplo, encontrar a hipotenusa.

Os triângulos retângulos

Uma das figuras geométricas mais importantes da matemática, o triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo interno com medida de 90° e os outros dois menores de 90°. Os dois ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares e formam juntos também 90°.

Observe que:

• h é a hipotenusa;
• a é o cateto oposto a hipotenusa;
• b é o cateto adjacente.

Teorema de Pitágoras

Com as informações principais sobre os lados do triângulo retângulo será possível usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a incógnita.

Assim temos que:

A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Ou seja:

h² = a² + b²

Desta forma, o teorema é o tipo de relações métricas no triângulo retângulo, pois mesmo se tiver apenas dois lados de um triângulo será possível encontrar o terceiro lado.

Semelhança entre os triângulos

Quando se traça a altura relativa à hipotenusa de um triângulo são formados dois novos triângulos retângulos que, nesse caso, são semelhantes entre si. Os triângulos semelhantes, assim, são aqueles que têm ângulos congruentes (iguais) e seus lados são proporcionais.

Altura é o seguimento que parte do vértice do triângulo retângulo, chaga no lado da hipotenusa e forma 90º com esse lado. Divide a hipotenusa em duas partes e forma dois novos triângulos retângulos que são semelhantes.

Observe a figura abaixo:

Observe nesse triângulo que:

• a é a hipotenusa;
• b e c são as medidas dos catetos;
• h é a altura;
• n é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa;
• m é a projeção do cateto CA sobre a hipotenusa.

Outras relações métricas no triângulo retângulo

Agora que as informações básicas já foram apresentadas, será possível entender as outras relações métricas no triângulo retângulo.

As relações métricas surgem das semelhanças entre os retângulos. Assim, é possível calcular o valor de uma incógnita com base nas informações já dadas.

Na imagem apresentada anteriormente, os triângulos semelhantes aqui são:

ABC ~ ABh ~ CAh

Observe a figura acima. Com base nas informações dadas dos triângulos semelhantes tem-se:

a/b = c/n = b/h

Com isso tem-se quatro relações métricas no triângulo retângulo. São elas:

1º O quadrado da hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a própria hipotenusa.

h² = m.n

2º A segunda relação diz que altura relativa à hipotenusa vezes a hipotenusa é igual ao produto dos dois catetos.

h.c = a.b

3º Nessa relação temos que cateto a elevado ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela parte m da projeção dos catetos sobre hipotenusa.

a² = a.m

4º Aqui temos algo parecido com a relação anterior, onde temos que cateto b elevado ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela parte n da projeção dos catetos sobre hipotenusa.

b² = a.n

Com as duas últimas relações métricas no triângulo retângulo, pode-se encontrar a medida do cateto quando as medidas da projeção sobre a hipotenusa são apresentadas.

Exemplo 01

Se a hipotenusa de um triângulo retângulo medir 32 centímetros e uma de suas projeções tiver valor de 8 centímetros, qual a medida do cateto adjacente da projeção?

Resolução:

É possível usar as duas últimas fórmulas para realizar o cálculo. Então:

a² = a.m
a² = 32·8
a² = 256
a = √256
a = 16 centímetros.

Exemplo 02:

Dados os valores da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa igual a 6 e da projeção do cateto CA sobre a hipotenusa igual a 18. Calcule o valor da hipotenusa e do cateto adjacente.

Resolução:

1º Para calcular a hipotenusa é só somar os valores das projeções dos catetos. Assim:

6 + 18 = 24

2º Com o valor da hipotenusa já se pode calcular o cateto adjacente usando a fórmula b² = a.n. Desta forma:

b² = a.n
b² = 24 . 6
b² = 144
b = √144
b = 12