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Relações métricas no triângulo retângulo
Matemática
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Postado por o_autor2019 em 14/05/2019 e atualizado pela última vez em 24/09/2020
As relações métricas no triângulo retângulo são a medidas correspondentes em um triângulo retângulo. Ou seja, são expressões que relacionam as medidas dos lados para encontrar um valor não conhecido. Assim, por meio do valor da altura relativa e dos catetos será possível, por exemplo, encontrar a hipotenusa.
Uma das figuras geométricas mais importantes da matemática, o triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo interno com medida de 90° e os outros dois menores de 90°. Os dois ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares e formam juntos também 90°.
Uma das figuras geométricas mais importantes da matemática, o triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo interno com medida de 90° e os outros dois menores de 90°.
Observe que:
• h é a hipotenusa; • a é o cateto oposto a hipotenusa; • b é o cateto adjacente.
Com as informações principais sobre os lados do triângulo retângulo será possível usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a incógnita.
Assim temos que:
A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Ou seja:
h² = a² + b²
Desta forma, o teorema é o tipo de relações métricas no triângulo retângulo, pois mesmo se tiver apenas dois lados de um triângulo será possível encontrar o terceiro lado.
Quando se traça a altura relativa à hipotenusa de um triângulo são formados dois novos triângulos retângulos que, nesse caso, são semelhantes entre si. Os triângulos semelhantes, assim, são aqueles que têm ângulos congruentes (iguais) e seus lados são proporcionais.
Os triângulos semelhantes, assim, são aqueles que têm ângulos congruentes (iguais) e seus lados são proporcionais.
Altura é o seguimento que parte do vértice do triângulo retângulo, chaga no lado da hipotenusa e forma 90º com esse lado. Divide a hipotenusa em duas partes e forma dois novos triângulos retângulos que são semelhantes.
Observe a figura abaixo:
Observe nesse triângulo que:
• a é a hipotenusa; • b e c são as medidas dos catetos; • h é a altura; • n é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa; • m é a projeção do cateto CA sobre a hipotenusa.
Agora que as informações básicas já foram apresentadas, será possível entender as outras relações métricas no triângulo retângulo.
As relações métricas surgem das semelhanças entre os retângulos. Assim, é possível calcular o valor de uma incógnita com base nas informações já dadas.
Na imagem apresentada anteriormente, os triângulos semelhantes aqui são:
ABC ~ ABh ~ CAh
Observe a figura acima. Com base nas informações dadas dos triângulos semelhantes tem-se:
a/b = c/n = b/h
Com isso tem-se quatro relações métricas no triângulo retângulo. São elas:
1º O quadrado da hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a própria hipotenusa.
h² = m.n
2º A segunda relação diz que altura relativa à hipotenusa vezes a hipotenusa é igual ao produto dos dois catetos.
h.c = a.b
3º Nessa relação temos que cateto a elevado ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela parte m da projeção dos catetos sobre hipotenusa.
a² = a.m
4º Aqui temos algo parecido com a relação anterior, onde temos que cateto b elevado ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela parte n da projeção dos catetos sobre hipotenusa.
b² = a.n
Com as duas últimas relações métricas no triângulo retângulo, pode-se encontrar a medida do cateto quando as medidas da projeção sobre a hipotenusa são apresentadas.
Exemplo 01
Se a hipotenusa de um triângulo retângulo medir 32 centímetros e uma de suas projeções tiver valor de 8 centímetros, qual a medida do cateto adjacente da projeção?
Resolução:
É possível usar as duas últimas fórmulas para realizar o cálculo. Então:
a² = a.m a² = 32·8 a² = 256 a = √256 a = 16 centímetros.
Exemplo 02:
Dados os valores da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa igual a 6 e da projeção do cateto CA sobre a hipotenusa igual a 18. Calcule o valor da hipotenusa e do cateto adjacente.
1º Para calcular a hipotenusa é só somar os valores das projeções dos catetos. Assim:
6 + 18 = 24
2º Com o valor da hipotenusa já se pode calcular o cateto adjacente usando a fórmula b² = a.n. Desta forma:
b² = a.n b² = 24 . 6 b² = 144 b = √144 b = 12
, . Relações métricas no triângulo retângulo; Guia Estudo. Disponível em
< https://www.guiaestudo.com.br/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo >. Acesso em 24 de setembro de 2020 às 16:43.
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