Relações trigonométricas

Relações entre os lados e o ângulo de um triângulo

As relações trigonométricas, também chamadas de identidades trigonométricas, correspondem às relações existentes entre os valores das funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) de um mesmo arco.  

Observe o triângulo abaixo, nele podemos perceber as razões trigonométricas sen θ, cos θ e tg θ: 

Triângulo relações trigonométricas
Triângulo retângulo. (Foto: Wikipédia)

Logo,

sen θ = b/a

cos θ = c/a

tg θ = b/c

Trigonometria do triângulo retângulo

Ao falar de trigonometria remetemos de imediato ao triângulo, isso porque esse termo deriva das palavras gregas “trigōnon” (triângulo) + “metron” (medida). O foco dessa área é o triângulo retângulo – polígonos com um ângulo reto (90°) e dois ângulos agudos (menores que 90°).

O triângulo retângulo possui três lados:

  • Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo de 90°;
  • Cateto adjacente: lado próximo ao ângulo de 90°;
  • Cateto oposto: lado contrário ao ângulo de 90°.

As possíveis divisões entre as medidas dos dois lados da figura são denominadas de razões trigonométricas, cujas três principais são:

  • Seno (sen) = cateto oposto/hipotenusa
  • Cosseno (Cos) = cateto adjacente/hipotenusa
  • Tangente (Tg) = cateto oposto/cateto adjacente
Relações trigonométricas triângulo
Lados do triângulo. (Foto: Wikipédia)

Círculo trigonométrico

As razões trigonométricas podem ser representadas graficamente no círculo trigonométrico, também denominado como ciclo ou circunferência trigonométrica. Ele corresponde a circunferência com raio igual a 1(um).

Essa circunferência, ao ser dividida igualmente em quatro partes, forma quatro quadrantes: 1° quadrante no ângulo 0°; 2° quadrante no ângulo 90°; 3° quadrante no ângulo de 180/ e 4° quadrante no ângulo de 270°.

O círculo trigonométrico é simétrico. Em função dessa simetria, no eixo vertical está o seno e o eixo horizontal o cosseno. Cada ponto do círculo está associado aos valores dos ângulos.

No círculo trigonométrico as medidas dos ângulos podem aparecer em graus ou em radianos, pois são proporcionais. Os valores de 0° e 360° são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

Veja abaixo algumas relações entre graus e radianos:

  • π rad = 180°
  • 2π rad = 360°
  • π/2 rad = 90°
  •  π/3 rad = 60°
  • π/4 rad = 45°

Relações trigonométricas no círculo trigonométrico  

A partir do círculo trigonométrico são obtidas as funções angulares, ou seja, as funções trigonométricas.  Para entender esse conceito, considere um número real x e um ponto P do círculo trigonométrico.

Esse ponto é associado a um único valor para as funções trigonométricas seno e cosseno, que serão denominadas de sen(x) e cos(x).

Relações de trigonométricas círculo
Relações trigonométricas no círculo. (Guia Estudo)

Logo,

  • sen (x): é a ordenada de P
  • cos (x): é a abscissa de P
  • Tg (x): sen(x)/cos(x)

Como já dito, o raio da circunferência corresponde a 1, então todos os pontos da circunferência trigonométrica estão a essa mesma distância da origem. O uso Teorema de Pitágoras resulta na relação trigonométrica fundamental abaixo:

sen² (x) + cos² (x) = 1

A partir de seno e cosseno é possível obter a tangente e em outras funções trigonométricas: cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (cossec), estas últimas consideradas inversas às funções básicas. Logo:

A cotangente é o inverso da tangente:

cotg (x) = 1/tg (x)  ou cos (x)/sen (x)

A secante é o inverso do cosseno:

sec (x) = 1/cos (x)

A cossecante é o inverso do seno:

cossec (x) = 1/sen (x)

Relações trigonométricas derivadas ou decorrentes

A partir da relação fundamental sen² (x) + cos² (x) = 1, podemos obter outras relações trigonométricas que são chamadas de derivadas.

a) Divisão por cos² x

sen² (x)/cos² (x) +  cos² (x)/ cos² (x)  = 1/cos² (x)  

Sendo,

tg² (x) = sen² (x)/cos² (x) e sec² (x) = 1/ cos² (x) 

Ao fazer a substituição temos,

tg² (x) + 1 = sec² (x)

b) Divisão por sen² (x)

sen² (x)/sen² (x) + cos² (x)/sen² (x) = 1/sen² (x) 

Sendo,

cos² (x)/sen² (x) = cotg² (x) e 1/sen² (x) = cossec² (x)

Ao fazer a substituição temos,

1 + cotg² (x) = cossec² (x)

Relações trigonométricas (operações)

Veja abaixo outros casos de relações trigonométricas que envolvem operações matemáticas:

1) Seno, cosseno e tangente da soma

sen(a + b) = sen(a). cos(b) + sen(b). cos(a)

cos(a + b) = cos a). cos(b) – sen(a). sen(b)

tg(a + b) = tg(a) + tg(b)/ 1 – tg(a). tg(b)

2) Seno, cosseno e tangente da diferença

sen(a – b) = sen(a). cos(b) – sen(b). cos(a)

cos(a – b) = cos(a). cos(b) + sen(a). sen(b)

tg(a – b) = tg(a) – tg(b)/ 1 + tg(a). tg(b)

3) Soma de seno, cosseno e tangente

Sen(a) + sen(b) = 2sen (a + b/ 2). cos (a – b/ 2)

Cos(a) + cos(b) = 2cos (a + b/ 2). Cos(a – b/ 2)

Tg(a) + tg(b) = [sen(a + b)/ cos(a). cos(b)]

3) Subtração de seno, cosseno e tangente

Sen(a) – sen(b) = 2sen (a – b/ 2). cos (a + b/ 2)

Cos(a) – cos(b) = -2sen (a + b/ 2). sen(a – b/ 2)

Tg(a) – tg(b) = [sen(a – b)/ cos(a). cos(b)]

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

CAIUSCA, Alana. Relações trigonométricas; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/relacoes-trigonometricas/ >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 21:40.

Copiar referência

Outros Artigos de Matemática

O sistema da Blockchain possibilita o uso de Bitcoins no mundo todo.

Bitcoin

Bitcoin é uma criptomoeda utilizada em transações financeiras virtuais sem […]

Engenho de açúcar

Sistema Plantation

Sistema plantation é um sistema descendente do período colonial europeu […]

Colheita de plantação

Sistemas agrícolas

Os sistemas agrícolas formam o conjunto de atividades técnicas, econômicas […]

Setores da economia

Os setores da economia existem para medir o desenvolvimento econômico […]