Retas concorrentes

Retas concorrentes são aquelas que, quando dispostas no mesmo plano, se cruzam em um único ponto em comum, formando quatro ângulos entre si. De acordo com as medidas desses ângulos, tais retas podem ser perpendiculares ou oblíquas.

Quando na interseção é formado um ângulo reto (90°), temos uma caso de retas perpendiculares. Contudo, se um dos ângulos formados for diferente de 90°, temos uma situação de retas oblíquas.

Mas antes de conhecer as principais características das retas concorrentes, que tal relembrar o que é uma reta e como ela se forma? Acompanhe a explicação abaixo e boa leitura!

O que é uma reta?

A reta é um elemento mais importantes da geometria plana, sendo definida como um conjunto de pontos infinitos que formam uma linha infinita. Sobre as retas, ainda é possível fazer as seguintes afirmações:

• Possuem apenas uma dimensão (unidimensionais);
• Como são linhas, não fazem curvas;
• Um reta possui infinitos pontos e nenhum espaço entre eles;
• Possuem três direções: horizontal, vertical e inclinada.

O “Pai da Geometria”, Euclides de Alexandria, desenvolveu alguns axiomas e postulados sobre essa área matemática, os quais algumas são relativos às retas:

• Postulado da existência (PE): em uma reta, assim como fora dela, existem vários pontos;
• Postulado de determinação (PD): na existência de dois pontos distintos do espaço, existe apenas uma reta que os contém;
• Postulado da inclusão (PI): caso uma reta possua dois ou mais de seus pontos em um plano, ela está contida no plano.

Posição relativa de duas retas

Dada duas retas distintas, elas poderão assumir diferentes posições no plano, sendo classificadas como:

• Retas paralelas: não possuem nenhum ponto em comum ao longo da sua infinita extensão;
• Retas concorrentes: se encontram em um único ponto, formando um ângulo de 90° ou diferente dele;
• Retas coincidentes: se encontram em todos os pontos ao longo da sua infinita extensão.

Retas concorrentes

Como dito, as retas concorrentes são aquelas que se cruzam em um único ponto em comum. Para exemplificar esse conceito observe a imagem acima, ela possui duas retas (r e s) e um ponto em comum (P).

De imediato podemos notas que este não é um caso de retas perpendiculares, pois não foi formado nenhum ângulo reto. Logo, estamos nos referindo a uma situação com retas oblíquas.

Nesse exemplo de retas concorrentes oblíquas, os ângulos α e β possuem medidas diferentes e a soma entre eles é igual a 180°. Por esse motivo, eles são chamados de ângulos suplementares.

P, o ponto de cruzamento entre as retas, é chamado de vértice. A partir dele são formados os ângulos opostos, os quais têm medidas iguais. Observe na imagem abaixo:

Ponto de intersecção

O ponto de interseção entre duas retas faz parte, consequentemente, das equações gerais dessas duas retas – expressas na forma ax + by + c = 0. Sendo assim, as coordenadas desse ponto podem ser encontradas com a resolução do sistema de equações.

Para demonstrar esse problema, considere as retas concorrentes s e t com as respectivas equações gerais x + 2y – 3 = 0 e 2x + y + 2 = 0. O ponto P (x₀, y₀), que é comum a essas retas, pode ser encontrado através da seguinte forma:

Antes de tudo é necessário escrever o sistema de equações

x + 2y – 3 = 0

2x + y + 2 = 0

Ao resolver a primeira equação, na sua for simplificada temos:

x + 2y = 3

x = 3 – y

Quando x é substituído por y na segunda equação temos:

2(3 – 2y) + y + 2 = 0

6 – 4y + y + 2 = 0

6 – 3y + 2 = 0

8 – 3y = 0

(-1) – (3y) = -8 (-1)

3y = 8

y = 8/3

Em seguida, substituímos o valor encontrado de y na primeira equação:

x = 3 – 2y

x = 3 – 2.(8/3)

x = 3 – 24/3

x = 3 – 8

x = -5

Com base nos cálculos realizados, o ponto de intersecção P (x₀, y₀) tem coordenadas igual a P (-5, 8⁄3) no plano cartesiano.