Secante

A função inversa do cosseno

A secante assim como as razões trigonométricas cossecante e a cotangente fazem parte do estudo da trigonometria. Respectivamente essas funções são opostas ao cosseno, seno e tangente.

O secante no círculo trigonométrico
Circulo trigonométrico com as funções (Foto: Wikipédia Commons)

Relembre as razões trigonométricas

A secante é o inverso do cosseno. Por isso, antes de falarmos sobre ela é necessário relembrarmos sobre as razões trigonométricas. Essas dizem respeito as relações dos ângulos e os lados de um triângulo retângulo (ângulo de 90°).

Quais são as razões trigonométricas?

As razões trigonométricas são chamadas de seno, cosseno e tangente. Veja a seguinte definição de cada uma delas:

O seno de um ângulo é a razão entre o valor da medida do cateto oposto e a hipotenusa. Dessa forma chegamos na seguinte relação:

Fórmula do seno.
Fórmula do seno.

 

O cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente sobre o valor da hipotenusa. Temos, portanto a seguinte relação matemática:

Fórmula do cosseno.
Fórmula do cosseno.

 

A tangente corresponde a razão entre o cateto oposto e ao cateto adjacente. Portanto, temos a seguinte relação matemática:

Fórmula da tangente.
Fórmula da tangente.

O triângulo retângulo

O conceito e a composição triângulo retângulo são também fundamentais para fixar o conteúdo sobre a secante.

O triângulo retângulo é uma forma geométrica plana (composta por duas dimensões) cuja estrutura abrange a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) e os catetos que são chamados de adjacente e oposto.

Veja na figura abaixo a representação de um triângulo retângulo:

o triângulo retângulo
Representação do triângulo retângulo (foto: Wikipédia)

Perceba que:

  • BA Correspondem a hipotenusa
  • E as vértices AC e CB dizem respeito aos catetos

As razões trigonométricas: secante, cossecante e cotangente

Após a revisão dos conceitos de triângulo retângulo e as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente abordaremos agora as outras funções: cossecante, cotangente e secante. Essa última será analisada com mais detalhes à frente.

Cossecante

É a razão trigonométrica identificada como o inverso do seno. Dessa forma, temos a seguinte expressão:

Cálculo da cossecante
Cálculo da cossecante

Legenda: cossecante é igual a um sobre seno.

 

Cotangente

A cotangente é a razão trigonométrica caracterizada por ser o oposto da tangente. Desse modo, ela é expressada pela seguinte operação matemática:

Cálculo da cotangente
Cálculo da cotangente

Legenda: cotangente é igual a um sobre tangente.

 

Secante

Como citado, a secante é o inverso do cosseno. Temos, portanto, que a secante é igual a um sobre cosseno. Veja a seguinte operação matemática:

Cálculo secante
Cálculo secante

 

A função trigonométrica secante

Como vimos, a função trigonométrica secante é o inverso do cosseno. Neste sentido trataremos a seguir dos sinais dessa função, bem como as aplicações e as propriedades.

Secante no círculo
Representação da secante no círculo. (Foto: Guia Estudo)

O sinal da função secante

A depender o quadrante o sinal pode variar como positivo ou negativo na secante. A figura abaixo mostra as variações de sinais.

Variação de sinal da função secante
A variação de sinal da secante (foto: Guia Estudo)

Desse modo, temos a seguinte síntese:

  • No 1º e 4º quadrantes o sinal é positivo
  • No 2º e 3º quadrante o sinal é negativo

Valores notáveis

Valores notáveis da secante
Valores notáveis da secante

Propriedades da função secante

  • Quanto a limitação: não apresenta. Isso acontece porque ele cresce ou descresse quando o ângulo está próximo de:
    Ângulo
    Ângulo

     

  • Crescimento: ela é crescente nos intervalos:
Crescimento da função secante
Crescimento da função secante

 

  • Decrescimento: em todos os intervalos de: 
    Decrescimento da função secante
    Decrescimento da função secante

     

  • Sinal da função: como informado o 1º e 4º quadrantes vão ser positivos se (sec t> 0). No 2º e no 3º quadrante o sinal vai ser negativo (sec t < 0);
  • Paridade: a função secante é par, ou seja, temos:  sec x = sec (-x);
  • Imagem: a imagem da função secante é a seguinte: {y ∈ R; y ≤ -1 ou y ≥ 1} = (- ∞, -1] ∪ [1, + ∞);
  • Periodicidade: a função é periódica no período 2 π: sec (t+2 ) = sec t.

Aplicações da função secante

Abaixo temos o exemplo da aplicação do cálculo da secante com ângulo de 60°.

Cálculo secante com ângulo de sessenta graus
Cálculo secante com ângulo de sessenta graus

Para fixar o assunto, confira o vídeo sobre as razões trigonométricas.

A unidade de medida de grau (°) e radiano (rad)

Os valores das medidas na trigonometria podem aparecer em grau e/ou em radiano. Por isso, é importante entender os valores correspondentes de cada um. 

Grau (°)

O grau é definido como o arco unitário correspondente a 1/300 da circunferência. Dessa forma, entendemos que o cumprimento da circunferência é 360°.  Já as subunidades dos graus são: segundo’’ e minuto’, sendo que:

  • Um grau é igual a sessenta minutos: 1°= 60’
  • Um grau é igual a três mil e seiscentos segundos: 1° = 3600’’

Radiano (rad)

O radiano, por sua vez, é um arco unitário. Ele corresponde a medida do raio da circunferência.

  • 2π rad é o valor que corresponde a medida da circunferência completa.

Veja abaixo o resumo da tabela com as relações de valores em graus e radianos:

Tabela de valores grau e radiano
Tabela de valores grau e radiano (Guia Estudo)

A história da trigonometria

As razões trigonométricas são partes do assunto que abrangem a trigonometria. Por essa razão abordaremos a história desse assunto.

A origem da palavra trigonometria vem do grego “trigōnon” que significa triângulo e “metron” corresponde a medida. O objetivo desse assunto é falar sobre as relações dos lados de um triângulo e os seus ângulos.

Não há uma precisão quando fala-se do início da trigonometria. No entanto, a história aponta indícios desse estudo entre os gregos no ano 300 a.C. A finalidade consistia em resolver problemas relacionados a astronomia.

Foi por meio de Ptolomeu de Alexandria em 150 d.C. que as aplicações dessa área apareceram. O instituto era ainda continuar com resoluções de questões voltadas à astronomia.  Ptolomeu relacionou ângulos com cordas de um círculo e, além disso, aplicou-se em usar a trigonometria para entender a latitude e longitude das cidades. 

Hiparco de Niceia o pai da trigonometria
Hiparco de Niceia, visto como pai da trigonometria (Wikipédia)

Em 400 d.C. a trigonometria foi utilizada na Índia com o objetivo também de responder temas relacionadas à astronomia. E, quanto ao povo Islâmico, foi somente no ano 800d.C que eles passaram a aplicar a trigonometria em estudos tanto da astronomia como na cartografia.  

Diante desses aspectos é perceptível que ciência trigonométrica não foi desenvolvida por apenas um estudioso. Pelo contrário, povos em diferentes épocas ajudaram a estabelecer esse assunto como é conhecido hoje.

Apesar das contribuições de outros estudiosos, o astrônomo grego Hiparco de Niceia (180–125 a.C.) é conhecido por ser “o pai da trigonometria”. Ele criou a tabela trigonométrica com os valores correspondentes dos ângulos de arco e corda.

Nomes importantes para os estudos da trigonometria


Leonardo Fibonacci

Foi um matemático italiano da Idade Média. Ele tornou-se conhecido pela descoberta da “Sequência de Fibonacci” que corresponde a uma sequência de números inteiros. Além disso, ele escreveu a obra “Practica Geometriae”, em 1220 onde descreveu importantes conceitos de álgebra aplicados à geometria e trigonometria.

Regiomontanus

Ele foi um matemático e astrólogo da Alemanha no século XV. Regiomontanus desenvolveu conceitos importantes para a história da trigonometria e, marcou assim, o surgimento desse assunto no continente europeu.

Bartholomaeus Pitiscus

Pitiscus  foi o responsável por criar o termo trigonometria. Essa palavra foi mencionada pela primeira por ele que escreveu um importante trabalho denominado: “Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus”, publicado em 1595.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

ALVES, Jéssica. Secante; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/secante >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 17:43.

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