Semelhança de Triângulos

A semelhança de triângulos acontece quando as medidas dos ângulos são iguais (congruentes) e os respectivos lados também são proporcionais, ou seja, a presença de um mesmo formato e dimensões distintas.

Como em dois polígonos semelhantes, mesmo caso dos triângulos, os lados são proporcionais, o quociente da divisão entre esses lados será constante. Por exemplo, se dividirmos o valor de um lado da primeira figura pela medida de um lado da segunda e o resultado for 4, então todas as outras divisões entre os lados devem ser iguais a 4.

Dados os triângulos ABC e A’B’C’ representados a seguir, os ângulos correspondentes apresentam medidas congruentes, tornando-os semelhantes. Logo, é feita as seguintes proporções:

Sendo,

• k: razão de semelhança
• ~ : notação de semelhança

Casos de semelhança de triângulos

Apesar dos conceitos, para descobrir se dois triângulos são semelhantes não é necessário examinar todos os lados e ângulos. Existem alguns caminhos que facilitam a observação, já que os triângulos são polígonos com menor número de lados.

Vale destacar que os lados das figuras não precisam ser iguais para haver relações. As semelhanças são construídas de acordo com as razões entre ambos.

Caso Ângulo – Ângulo (AA~)

Quando dois triângulos apresentam dois ângulos correspondentes de mesma medida são semelhantes.

Neste critério, é dispensável conferir o terceiro ângulo e a proporcionalidade entre os lados.

Caso Lado-Ângulo-Lado (LAL~)

Quando dois triângulos possuem dois pares de lados proporcionais e o ângulo entre eles é congruente são considerados semelhantes. O exemplo abaixo mostra como é feita essa definição:

Caso Lado-Lado-Lado (LLL~)

Quando dois triângulos apresentam três lados correspondentes proporcionais são tidos como semelhantes, isto é, triângulos com três lados proporcionais sempre formam ângulos correspondentes de medidas iguais.

Teorema fundamental

O teorema fundamental afirma que uma reta paralela, quando traçada em um dos lados do triângulo, a mesma reta intercepta os outros dois lados em pontos distintos.  Assim, é criada uma figura similar à original.

Na imagem a seguir, o triângulo ABC é atravessado pela reta r, que é paralela ao lado BC.

Ao observá-los, percebemos que são semelhantes, uma vez que os ângulos D, E, B e C estabelecem razões de proporcionalidade. Além disso, o ângulo A é congruente tanto para o triângulo original, quanto o formado pela reta r.

Sendo assim, de acordo com o caso ângulo-ângulo, confirma-se que os polígonos ABC e ADE são semelhantes.

Igualdade de triângulos

Semelhança de triângulos não é o mesmo que congruência de triângulos. Eles são classificados como iguais no momento que exibem as seguintes características:

• Lados com medidas congruentes;
• Dois lados dos triângulos congruentes, bem como o ângulo formado por eles;
• Dois ângulos dos triângulos congruentes, assim como o lado entre eles.

Relações métricas no triângulo retângulo       

O triângulo retângulo é a forma plana composta por um ângulo reto (90°) e outros dois agudos (menores que 90°).

Na representação do triângulo, a altura, referente à hipotenusa, o separa em dois triângulos retângulos. Percebe-se que os polígonos ABC, ABH e AHC têm em comum o ângulo reto, e os lados AB, AC, AH, CH, AH e BH são proporcionais. Desse modo, atesta-se a semelhança entre ambos.

Com os valores dos lados proporcionais, ocorre as relações métricas, isto é:

O quadrado da altura da hipotenusa é igual ao resultado das projeções dos catetos:

h² = m.n

O quadrado de um cateto é igual ao resultado entre a sua projeção e a hipotenusa:

b² = a.m

c² = a.n

O resultado entre a hipotenusa e sua altura é igual ao resultado dos catetos:

a.h = b.c

O quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos:

a² = b² + c²

Aplicação

Como as figuras a seguir mostram um par de triângulos semelhantes, vamos encontrar a medida do seguimento AB. Já que os lados homólogos são BA, ED, BC, EF, AC e DF, efetuemos o cálculo da proporcionalidade:

BC/ EF = AC/DF

BC /10 = 4/8

8BC = 10.4

8BC = 40

BC = 40/8

BC = 5

Agora que temos a medida da hipotenusa (BC), basta aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar o valor do cateto oposto (AB):

c² = a² +b²

52 = AB² + 42

25 = AB² + 16

25 – 16 = AB²

9 = AB²

AB = √9

AB = 3