Sistemas de Equações

Aprenda como resolver um sistema de equação do primeiro grau

Na matemática, os sistemas de equações são conjuntos de expressões compostas por mais de uma incógnita. Eles são úteis para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis.

Para resolver um sistema é possível utilizar os métodos de adição ou substituição.

Método de Substituição nos Sistemas de Equações

O método de substituição, também chamado de sistemas lineares, será dividido em quatro etapas para facilitar a compreensão. Confira o exemplo abaixo:

Método de Substituição dentro dos sistemas de equações
Método de substituição.

Primeira Etapa: Isolar a incógnita

O primeiro passo para se solucionar um sistema é escolher uma incógnita para descobrir o seu valor algébrico. É importante lembrar que uma incógnita é uma quantidade desconhecida, mas que se pretende descobrir para resolver um problema. Normalmente, essas incógnitas são representadas pelas letras x, y e z.

Entendendo isso, é necessário isolar cada uma delas para facilitar no cálculo. Portanto, a equação fica da seguinte forma:

Resolução Método de Substituição dentro dos sistemas de equações
Exemplo método de substituição.

Nota-se que, para alterar a incógnita y de posição, basta mudar o 5x de membro. Vale ressaltar que, como ele mudou de posição, passa de positivo para negativo.

Segunda Etapa: realizar a substituição

O segundo passo para resolução do problema é substituir o valor algébrico de y da segunda equação, de acordo com o valor descoberto da primeira. Veja:

y = 70 – 5x

Portanto, na segunda equação ficará:

4x – 2y = 0

4x – 2 (70 – 5x) = 0

Terceira Etapa: realizar os cálculos

Feita a substituição, percebe-se que sobrou apenas uma incógnita para ser solucionada, que é o x. Com isso, basta calcular o valor da incógnita restante, resolvendo da seguinte forma:

4x – 2 (70 – 5x) = 0

4x – 140 + 10x=0

14x = 140

x = 140 / 14

x = 10

Após descobrir o valor número da incógnita, é possível realizar a última etapa.

Quarto Etapa: encontrar o valor da segunda incógnita

Para essa etapa o processo fica mais simples, basta fazer a substituição do número encontrado na etapa três em alguma das equações. Nesse caso, será substituído o valor de x da primeira equação, calculando da seguinte forma:

5x + y = 70

5(10) + y = 70

50 + y = 70

y = 70 – 50

y = 20

Método de Adição

Nesse método, é necessário realizar a soma das equações de cada termo. Esse caso acontece quando há uma incógnita na primeira equação com um número positivo e ela aparece novamente na segunda com um número negativo. Veja o exemplo:

Método de Adição
Exemplo método de adição.

Importante destacar que esse formato também é utilizado quando um dos termos de uma equação é múltiplo de um termo da outra, conforme o exemplo abaixo:

Método de adição
Resolução método de adição.

Em outras situações esse método também pode ser usado, porém é composto por mais etapas, envolvendo a multiplicação de números decimais, por exemplo, tornando o cálculo mais difícil.

Confira o exemplo abaixo e o passo a passo da sua resolução.

Método de adição
Resolução método de adição.

Primeira Etapa: organizar os termos do sistema

Nessa etapa é necessário posicionar os termos iguais um abaixo do outro, para facilitar a operação. Portanto, se tem:

Método de Adição
Resolução método de adição.

Segundo etapa: multiplicar uma das equações por uma constante apropriada

No exemplo citado, percebe-se que os elementos -2y e -6y são múltiplos. Portanto, para que eles se tornem elementos inversos, é preciso multiplicar o -2y por -3, resultando em 6y, se tornando o oposto de -6y da segunda equação.

Importante salientar que fazendo essa alteração será necessário multiplicar todos os termos da primeira equação pelo mesmo número, ficando da seguinte forma:

Método Adição
Resolução do método de adição. (Guia Estudo)

Terceiro passo: somar as equações

Agora é a hora de somar as equações termo a termo. Ao final da operação se terá o resultado da primeira incógnita.

Observe que a ideia dessa soma é zerar uma das incógnitas. Caso isso não aconteça, bem provável que haja algum erro na resolução da equação.

Método de Adição dos Sistemas de Equações
Resolução do método de adição.

Quarto passo: encontrar o valor numérico da segunda incógnita

Para esse último processo, é só substituir o valor encontra no cálculo anterior em uma das equações iniciais. Para esse exemplo, será utilizado a primeira equação:

Para fazer esse último passo, basta substituir o valor numérico da incógnita encontrada em uma das duas equações iniciais. Faremos isso com a primeira equação:

Método de adição
Resolução método de adição.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

BARBOSA, Elson. Sistemas de Equações; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/sistemas-de-equacoes >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 22:53.

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