Sistemas lineares

É formado por conjunto de equações lineares

Os sistemas lineares são conjuntos de equações lineares que possuem várias incógnitas. Ao encontrar o resultado de uma dessas equações, será obtido o resultado de todas as outras. Existem vários métodos de resolução desse tipo de sistema, mas o sistema de escalonamento é o mais utilizado deles.

Conheça abaixo os conceitos que envolvem os sistemas lineares e como os resolver pelo método do escalonamento.

Equações lineares

Essa é uma equação que tem variáveis com expoente igual a um e que não podem ser multiplicadas ou divididas. Dessa forma, ax + by = 0 é uma equação linear, pois as variáveis x e y têm expoente igual a um x¹ e y¹ e não estão realizando multiplicação nem divisão entre si.

Exemplo de equações lineares:

• 5x = 20: é uma equação linear, pois a variável x tem expoente igual a 1 (x¹);

• 32x – 2y = 0: é uma equação linear, pois as variáveis x e y têm expoentes iguais a um (x¹) e (y¹);

• x² + 3y³ = 12: não é uma equação linear, pois os expoentes da variáveis não são iguais a um (x²) e (y³);

• 2xy – 3z = 6: não é uma equação linear, pois as variáveis x e y estão realizando multiplicação entre si.

Sistemas lineares

Os sistemas lineares, por sua vez, são conjuntos de equações lineares que possuem as mesmas varáveis e têm soluções iguais. Para encontrar a solução dos sistemas lineares, basta encontrar o valor das variáveis em apenas uma das equações. Observe:

2x – y = 3

-x + y = -1

As equações anteriores formam um sistema linear, pois (2, 1) é o resultado comum entre eles.

Os sistemas lineares também podem ser definidos como um conjunto formado por m equações com “n” incógnitas. Podem ser representados da seguinte forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 … + anxn = b1

a21x1 + a21x2 + a23x3 … + a2nxn = b2

(…)

an1x1 + an2x2 + an3x3 … + annxn = bn

Observe que x1, x2, x3 e xn são as incógnitas.

Garoto olha quadro negro com diversas equações.
Sistemas lineares são formados por conjunto de equações lineares. (Imagem: Pixabay)

Escalonamento

Um sistema escalonado é quando as incógnitas das equações lineares têm, pelo menos, um coeficiente não nulo e o número de coeficientes nulos aumenta de forma gradativa (de equação para equação).

O escalonamento de sistema transforma uma equação em outra equivalente, mas que possui uma solução mais fácil. Para isso é possível seguir os passos:

• Fixar a primeira equação sem modificá-la;

• Recriar a segunda equação. Para isso, basta multiplicar ou dividir duas das equações por um número que permita a exclusão de uma das incógnitas e depois somar as equações;

• Repetir o processo anterior na terceira ou quarta linha até encontrar formas equivalentes reduzidas.

Exemplo. Temos o sistema linear:

x + y + z = 6

x + 2y + 2z = 9

2x + y + 3z = 11

Não mexemos na primeira, mas reduzir a segunda. Assim:

x + 2y + 2z = 9 . (-1)

-x -2y -2z = -9

(x + y + z = 6 ) + (-x -2y -2z = -9)

-y -z = -3

Redução da Terceira equação:

x + 2y + 2z = 9 . (-2)

-2x -4y -4z = -18

(2x + y + 3z = 11) + (-2x -4y -4z = -18)

-3y -z = -7

O resultado do escalonamento será então:

x + y + z = 6

-3y -z = -7

-y -z = -3

Ainda se pode reduzir mais as equações e então terá:

-y -z = -3 .(-3)

3y +3z = 9

(-3y -z = -7) + (3y +3z = 9)

2z = 2

Então:

x + y + z = 6

-3y -z = -7

2z = 2

Assim, pode-se encontrar mais facilmente o resultado dos sistemas lineares.

Equação 01:

2z = 2

z=2/2

z=1

Equação 02:

-3y -z = -7

-3y -1 = -7

-3y = -7 +1

-3y = -6 . (-1)

3y = 6

y = 6/3

y = 2

Equação 03:

x + y + z = 6

x +2 +1 = 6

x +3 = 6

x = 6 -3

x = 3

O sistema linear, então, terá como solução os valores x = 3, y = 2, z = 1.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

Rosa, Joseane. Sistemas lineares; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/sistemas-lineares >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 23:28.

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