Soma e Produto

Técnica para calcular raízes

Soma e produto é o método para determinar as raízes de uma equação de segundo grau sem precisar aplicar a Fórmula de Bhaskara.

É adequado para os resultados que são números inteiros, pois na equação de segundo grau o coeficiente quadrático, linear e constante pertencem ao conjunto dos reais.

A resolução da Fórmula de Bhaskara na formação ax² +bx +c é possível quando acontece as seguintes alternativas:

  • Duas raízes reais e diferentes (∆ > 0);
  • Uma raiz real e distinta (∆ = 0);
  • Raiz real inexistente (∆ < 0).

Dada a confirmação de que as raízes são reais, podemos utilizar o cálculo da soma e produto, tonando mais fácil o processo. Ou seja:

  • Soma: x1 + x2 = – b/a 
  • Produto:  x1. x2 = c/a
Soma e produto da equação
As regras da soma e produto nascem da Fórmula de Bháskara. (Foto: Pixabay)

Soma e produto: como encontrar as raízes

Agora que sabemos as fórmulas, vamos entender no exemplo como funciona. Confira:

Seja a equação x² + 4x – 21 = 0, teremos:

1° Passo: Separe os coeficientes da equação

a = 1

b = 4

c = – 21

2° Passo: Efetue as operações de soma e produto:

x1 + x2 = – b/a = – 4 / 1 = – 4

x1. x2 = c/a =  – 21/ 1 = – 21

3° Passo: Encontre os valores que satisfaçam as relações entre as raízes, ou seja, os números que a soma seja igual a – 4 e o produto o mesmo que – 21.

Sabe-se que:

3. 7 = 21

1. 21 = 21

3. (-7) = – 21

Dos números indicados acima, dois servem para a soma, já que 3 + (- 7) = – 4. Logo, as raízes que compõem o conjunto solução dessa equação é S = {- 7, 3}.

Para conferir se os valores encontrados estão corretos, basta substituí-los na equação:

x² + 4x – 21 = 0

(- 7)² + 4. (- 7) – 21 = 49 – 28 – 21 = 49 – 49 = 0

3² + 4.3 – 21 = 9 + 12 – 21 = 21 – 21 = 0

Fique atento!

Essa técnica serve apenas para os casos em que o coeficiente quadrático (a) é igual a 1.

Aplicação

a. Dada a equação x² + 2x – 15 = 0, temos:

a = 1; b = 2 e c = – 15

x1 + x2 = – b/a = – 2/1 = – 2

x1. x2 = c/a =  – 15/1 = – 15

Em seguida, temos que descobrir os valores que multiplicados sejam iguais a – 15, e somados apresente – 2 como resultado.

1. (-15) = 15

3. (- 5)  = – 15

Dos números testados, dois cabem na soma, pois 3 + (- 5) = – 2. Portanto, o conjunto solução é S = {- 5, 3}. Vamos testar?

x² + 2x – 15 = 0

(- 5)² + 2. (- 5) – 15 = 25 – 10 – 15 = 15 – 15 = 0

(3)² + 2.3 – 15 = 9 + 6 – 15 = 15 – 15 = 0

 b. Confira no exemplo x² – 9x + 20 = 0:

a = 1; b = – 9 e c = 20

x1 + x2 = – b/a = – (- 9/1) = 9

x1. x2 = c/a =  20/1 = 20

Assim, precisamos definir os valores que tenham a soma igual a 9 e produto o mesmo que 20.

1. 20 = 20

2.10 = 20

4.5 = 20

As duas possibilidades que satisfazem a soma é 4 e 5, já que 4+ 5 = 9. Desse modo, o conjunto verdade dessa equação é S = {4, 5}. Vamos conferir?

x² – 9x + 20 = 0

(4)² – 9.(4) + 20 = 16 – 36 + 20 = 36 – 36 = 0

(5)² – 9.(5) + 20 = 25 – 45 + 20 = 45 – 45 = 0

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

SANTOS, Thamires. Soma e Produto; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/soma-e-produto >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 23:45.

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