Teorema de Tales

Teoria aplicada à geometria

O Teorema de Tales é um propriedade matemática – aplicada à geometria -, que faz uma relação entre os conceitos de retas paralelas e transversais. Essa propriedade foi desenvolvida pelo grego Tales de Mileto, por volta de 650 a.C, a partir de observações em uma pirâmide.

Enquanto habitava o Egito, sob ordens de um faraó, Tales foi designado para medir a altura da Pirâmide de Quéops. Segundo o discípulo de Aristóteles, Hicrônimos, Tales fez a mediação a partir do comprimento da sombra da pirâmide, no instante em que a sua sombra era igual a sua altura.

Mas há uma segunda versão para o fato, contada por Plutarco. De acordo com esse filósofo grego, Tales utilizou um objeto, certamente uma vara, que foi fincada verticalmente no extremo da sombra projetada pela pirâmide, formando no solo dois triângulos semelhantes.

Tales notou que os raios solares ao chegarem na Terra, estavam em uma posição inclinada e eram paralelos entre si. Sendo assim, ele concluiu que havia uma relação de proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos.

Deste modo, estabeleceu-se o Teorema de Tales a partir do seguinte enunciado:

“Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra”.

Relembrando o que são retas

Em matemática, define-se como reta o conjunto de pontos que formam linhas infinitas e não fazem curvas. As retas são infinitas, uma vez que dados dois pontos distintos de uma reta, sempre existirá um ponto entre eles que também pertencente a essa reta.

Os principais tipos de reta são:

  • Retas paralelas: retas posicionadas uma ao lado da outra, no mesmo sentido e sem ponto comum entre elas;
  • Retas concorrentes: retas que se encontram em um único ponto;
  • Retas coincidentes: retas que possuem no mínimo dois pontos em comum.

O Teorema de Tales

Agora que você relembrou o que são retas, vamos interpretar o enunciado do Teorema de Tales:

Quando três ou mais retas paralelas são destacadas em um plano, elas formam um feixe de retas paralelas. Enquanto as retas transversais são aquelas que cruzam as retas paralelas.

Agora imagine que um feixe de retas paralelas forme segmentos de retas congruentes sobre uma reta transversal. Nesse caso, o feixe também forma segmentos congruentes em outras retas transversais.

Na imagem abaixo, pode-se observar um feixe de retas paralelas cortado por duas retas transversais, que deram origem aos segmentos de reta:

Feixe de retas do Teorema de Tales
Feixe de retas. (Foto: Guia Estudo)

Em relação à imagem acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são transversais. Com base no Teorema de Tales, temos a seguinte relação:

AB/BC = A'B'/B'C'

A relação acima engloba noções de razão e proporção. O segmento AB está para o segmento BC, assim como o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. A igualdade entre as razões forma uma proporção, cujo cálculo é realizado por multiplicação cruzada ou de acordo com a propriedade das proporções.

Teorema de Tales nos triângulos

O Teorema de Tales também pode ser aplicado aos triângulos. Por exemplo, no triângulo ABC, a reta r corta os lados AB e AC, nos pontos D e E desse triângulo, sendo assim os triângulos ABC e ADE são considerados semelhantes em função de:

  1. O ângulo do vértice A é comum aos dois triângulos;
  2. Os seguimentos AD e AB são proporcionais aos segmentos AE e AC, devido ao Teorema de Tales.
Triângulo do Teorema de Tales
Semelhança de triângulos. (Foto: Guia Estudo)

Exemplo 1

Considerando a imagem abaixo, é possível encontrar o valor de x:

Teorema de Tales
Aplicação do Teorema de Tales. (Foto: Guia Estudo)

15/5 = 20/x

15x = 100

X=100/15

X = 6,6

Exemplo 2

Considerando a imagem abaixo, pode-se encontrar o valor de x:

Aplicação dois do Teorema de Tales
Aplicação do Teorema de Tales. (Foto: Guia Estudo)

3x+1 /5x -1 = 4/6

4.(5x – 1) e 6.(3x + 1)

20x – 4 = 18x + 6

20x – 18x = 6 + 4

2x = 10

X = 5

Quem foi Tales de Mileto?

Tales de Mileto foi um filósofo, matemático, engenheiro e astrônomo que viveu no período da Grécia Antiga. Ele, juntamente com Pítaco de Mitilene, Periandro de Corinto, Sólon de Atenas, Quílon de Esparta, Cleóbulo de Lindos e Bias de Priene formam o grupo dos Sete Sábios da Grécia.

Tales possui alguns grandes títulos: o Pai da Geometria Descritiva, o "Primeiro Matemático" e o "Primeiro Filósofo da Humanidade". Entre as contribuições matemáticas atribuídas a Tales, podemos destacar:

  • Descoberta que os ângulos da base dos triângulos isósceles são iguais;
  • Descoberta que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais;
  • Descoberta que ao juntar qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo em C.
  • Formulação do teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são iguais;

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

CAIUSCA, Alana. Teorema de Tales; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/teorema-de-tales >. Acesso em 30 de janeiro de 2020 às 01:31.

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