Triângulo de Pascal

Numérico infinito

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico composto por números binomiais, os quais possuem diversas propriedades e relações. Esse triângulo é infinito e tem início a partir do número 0 (zero).

O triângulo pode sistematizar os coeficientes binomiais em forma de tabela. De modo que os coeficientes do mesmo numerador fiquem ordenados na mesma linha e os coeficientes do denominador na mesma coluna. 

Um número binominal ou coeficiente binomial é composto por:

Triângulo de Pascal binômio
Binômio.

O número n é denominado numerador e o p denominador, além disso n e p são números naturais e n ≥ p.

Um número binominal é calculado a partir da seguinte expressão:

Fórmula do binômio
Cálculo binômio.

Onde,

  • Cn,p: combinação simples com n elementos tomados p a p;
  • n!: fatorial de um número n qualquer;
  • p!: fatorial de um número k qualquer.

Não lembra como calcular o fatorial de um número? É fácil. Basta realizar a multiplicação de todos os antecessores do número fatorial até o 1. Por exemplo, 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.

Obs.: por definição, 0! = 1 e 1! = 1. Para conhecer outras propriedades e especificidades de n! Acesse o artigo sobre fatorial.

Como construir um triângulo de Pascal

A construção do triângulo é fácil, como já dito, os numeradores ficam na mesma linha e os denominadores na mesma coluna, ambos se iniciam em 0 (zero). Observe abaixo:

Construção do Triângulo de Pascal
Organização triângulo de Pascal. (Foto: Guia Estudo)

Note que na quinta linha temos cinco números binomiais, todos eles com numerador igual a quatro. Assim como na terceira, todos os binominais possuem o número dois no denominador.

Em resumo, o numerador de todos os números binomiais de uma linha é o mesmo, bem como o denominador de todos os números binomiais de uma coluna é igual ao número da coluna.

As linhas do triângulo de Pascal possuem um número finito de elementos, que é igual o respectivo número da linha mais um. Tomemos como exemplo a quinta linha, ela contém o número quatro no numerador que somado a um é igual a cinco.

Veja a baixo o triângulo de Pascal com os números binomiais já resolvidos:

Resultado do Triângulo de Pascal
Resolução do triângulo de Pascal. (Foto: Guia Estudo)

Para chegar na imagem acima, os números binominais foram calculados um a um. Observe os exemplo dos números destacados em azul e vermelho:

Cálculo do binômio
Cálculo binômios.

Existe também uma forma rápida de desenvolver o triângulo de Pascal. Veja no vídeo abaixo:

Propriedades do triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal possui diversas propriedades relacionadas aos seus elementos. Confira algumas:

1ª propriedade – cada número do triângulo é o resultado da soma dos dois números que estão acima dele. Essa propriedade também é chamada de Relação de Stifel, expressa formalmente como:

Relação de Stifel no Triângulo de Pascal
Relação de Stifel.

Observe na demonstração abaixo como funciona essa propriedade:

Primeira propriedade da relação de Stifel
Demonstração da relação de Stifel.

2ª propriedadedenominada de Teorema das Linhas, de acordo com essa propriedade a soma de qualquer linha do triângulo de ordem n é igual a 2n:

Observe a demonstração abaixo:

Segunda propriedade do Triângulo de Pascal
Demonstração Teorema das Linhas.

3ª propriedade – o chamado Teorema das Colunas sustenta que a soma dos números binomiais de uma coluna no triângulo (a partir do primeiro elemento) tem como resultado o número binomial à direita da linha abaixo do último elemento somado.

Observe a demonstração abaixo:

Terceira propriedade do Triângulo de Pascal
Demonstração Teorema das Colunas.

Binômio de Newton

O Binômio de Newton é uma potência da forma (x + y)n, sendo que x e y são números reais e n é um número natural.

Esse binômio pode ser resolvido de uma forma simples, através da multiplicação dos fatos, caso os valores assumidos por n sejam pequenos, ou através da fórmula geral:

Triângulo de Pascal do binômio de Newton
Fórmula Binômio de Newton.

Esses dois temas relacionam-se, uma vez que, os coeficientes do Binômio de Newton equivalem aos números binomiais do triângulo de Pascal. Não ficou claro? Para entender esse conceito, vamos desenvolver o binômio (x + 2)3.

1 . x3 . 20 + 3 . x2 . 21 + 3 . x1 . 22 + 1 . x0 . 23

Alguns números estão em negrito, eles correspondem os da linha 3 do triângulo de Pascal, já que n = 3. Os demais números dessa linha são: 1 3 3 1.

O binômio resolvido tem como resultado:

x3 + 6x2 + 12x + 8, ou seja, uma equação de terceiro grau.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

CAIUSCA, Alana. Triângulo de Pascal; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/triangulo-de-pascal >. Acesso em 11 de dezembro de 2019 às 19:00.

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