Trigonometria

Teorema de Pitágoras é um dos fundamentos da área

A trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os lados e os ângulos do triângulo. O termo tem origem do grego “trigōnon” (triângulo) + “metron” (medida) e o seu surgimento está relacionado a necessidade dos astrônomos em calcular o tempo.

Além da matemática, a trigonometria é utilizada em outras áreas como: física, biologia, geografia, astronomia, engenharia, etc.

A área é facilmente encontrada no cotidiano, por meio de observações simples como a decolagem de um avião – que forma um ângulo de 30º na pista-, e na rampa de acesso à garagem de casa.

Nomenclaturas em trigonometria

Algumas termos são frequentes no estudo da trigonometria e a compreensão deles é fundamental para o seu estudo. Confira abaixo um pequeno glossário em trigonometria:

  • Ângulo: reunião de dois segmentos de reta orientados (ou semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum. A interseção entre os dois segmentos é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos;
  • Triângulo: figura geométrica fechada composta de três lados;
  • Congruentes: figuras e formas que possuem a mesma medida;
  • Eixo: quando são traças as coordenadas ou gráfico em duas dimensões, são utilizados dois eixos: x (horizontal) e y (vertical). Quando existe mais um eixo perpendicular ao plano xy, o novo eixo é chamado de z;
  • Função: correspondência única entre dois conjuntos. Cada elemento do primeiro conjunto corresponde a um e somente um elemento do segundo;
  • Circunferência: curva plana e fechada cujos pontos estão equidistantes de um ponto fixo chamado centro;
  • Grau: unidade de medida do ângulo obtida pela divisão da circunferência em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de um grau;
  • Radianos:  unidade de medida de ângulo que corresponde ao ângulo central, subtendido por um arco de circunferência cujo comprimento seja igual ao raio desta mesma circunferência;
  • Razão: comparação de dois números ou duas quantidades obtida pelo quociente entre elas.

Triângulo retângulo

Em geometria, denomina-se triângulo retângulo o polígono que possui um ângulo chamado reto, com medida de 90°, e dois ângulos menores chamados ângulos agudos. A soma dos ângulos internos deve ser 180°.

O lado oposto ao ângulo de 90º, que é o maior, é chamado de hipotenusa. Os demais lados são denominados de cateto adjacente, se junto ao ângulo de referência, e cateto oposto, quando contrário.

O Teorema de Pitágoras, cujo enunciado é: “a soma dos quadrados dos catetos corresponde ao quadrado da hipotenusa” é representados da seguinte forma:

a² = b² + c²

Sendo: a (hipotenusa), b (cateto) e c (cateto).

Triângulo retângulo em trigonometria
Representação da trigonometria por meio do triângulo retângulo. (Foto: Guia Estudo)

Por exemplo, com base no Teoremas de Pitágoras, para determinar a medida “a” do triângulo retângulo abaixo deve-se fazer o cálculo posterior:  

Exercício trigonometria
A relação entre a trigonometria e o Teorema de Pitágoras. (Foto: Guia Estudo)

 

a² = b² + c²
a² = 5² + 12²
a² = 25 + 144
a² = 169
√a² = √169
a= 13

Círculo trigonométrico

Também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, o Círculo Trigonométrico é uma representação gráfica que ajuda no cálculo das razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente).

O círculo possui uma circunferência, centrado em um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto de interseção. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: o sentido positivo (anti-horário) e o sentido negativo (horário).

De forma geral, o círculo trigonométrico tem início no ponto A e gira no sentido anti-horário (positivo). Os eixos x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes e são chamadas de quadrantes. Deste modo, os valores positivos estão localizados no quadrantes ímpares e os negativos nos quadrantes pares, com crescente em cada valor.

Quadrantes do círculo em trigonometria
Quadrantes do círculo trigonométrico. (Foto: Guia Estudo)

No círculo trigonométrico as medidas dos ângulos podem ser identificadas em graus ou em radianos, pois são diretamente proporcionais. Algumas medidas são mais perceptíveis, como as marcações de 0°, 90°, 180°, 270° e 360°. Sendo os valores de 0° e 360° congruentes.

Abaixo algumas relações entre graus e radianos:

  • π rad = 180°
  • 2π rad = 360°
  • π/2 rad = 90°
  • π/3 rad = 60°
  • π/4 rad = 45°
Círculo trigonometria em graus
Círculo trigonométrico em graus. (Foto: Guia Estudo)

Razões e funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente

Sendo a trigonometria a área que estuda as relações no triângulo retângulo, as relações trigonométricas dessas figuras apresentam relações entre si e podem também ser representadas no círculo trigonométrico e em gráficos planos.  

Lembrando que as razões trigonométricas também são funções periódicas, pois seus valores se repetem em cada intervalo (período).

Seno (sen)

Representado pela razão entre o cateto oposto e a hipotenusa do triângulo retângulo, calculado através da seguinte fórmula:

Fórmula seno
Fórmula seno.

Fórmula da função seno: f(x) = senx
Domínio da função seno: D = R
Imagem da função seno: Im = [ -1,1]
Período da função seno: 2 π

Gráfico da função seno
Gráfico da função seno

Cosseno (cos)

Representado pela razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa de um triângulo retângulo, calculado através da seguinte fórmula:

Fórmula Cosseno.

Fórmula da função cosseno: f(x) = cosx
Domínio da função cosseno: D = R
Imagem da função cosseno: Im = [ -1,1]
Período da função cosseno: 2 π

Gráfico da função cosseno
Gráfico da função cosseno.

Tangente (Tg)

Representada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente de um triângulo retângulo, calculado da seguinte fórmula:

Fórmula tangente
Fórmula tangente.

Fórmula da função tangente: f(x) = tgx
Domínio da função tangente: D = R
Imagem da função tangente: Im = [-∞, ∞]
Período da função tangente: π

Gráfico da função tangente trigonometria
Gráfico da função tangente. (Foto: Guia Estudo)

Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis da trigonometria são aqueles que mais se destacaram pela frequência em que aprecem nos cálculos. Sendo assim, é importante conhecer os valores do seno, cosseno e tangente desses ângulos.

Trigonometria ângulos notáveis
Tabela de ângulos notáveis

História da trigonometria

A origem e data da trigonometria é incerta, mas seu desenvolvimento surgiu a partir dos problemas das áreas de astronomia, agrimensura e navegação por volta do século IV ou V a.C. Foram os povos egípcios e babilônios que mais contribuíram para a descoberta e aperfeiçoamento dessa área matemática.

No Papiro Rhind (1650 a.C) foram encontrados problemas relacionados à cotangente e na tábua cuneiforme Plimpton 322 (1900 e 1600 a.C) descobriram problemas envolvendo secantes.

Papiro Rhind: trigonometria
Papiro de Rhind. (Foto: Wikipédia)

O grego Euclides de Alexandria, em sua obra Os Elementos, apresentou alguns conceitos relacionados a trigonometria, mas representados por formas geométricas. Na obra é possível encontrar as leis do cosseno para ângulos obtusos e agudos, respectivamente, nas Proposições II.12 e II.13.

O título de “pai da trigonometria” foi dado a Hiparco de Nicéia, pois na segunda metade do século II a.C., ele fez um tratado em 12 livros por meio de um tábua de cordas que posteriormente seria a primeira tabela trigonométrica. Ptolomeu também construiu uma tabela de cordas com o cálculo do seno dos ângulos de 0º a 90º.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

CAIUSCA, Alana. Trigonometria; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/trigonometria >. Acesso em 28 de outubro de 2019 às 14:48.

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