Trigonometria no triângulo retângulo

Estudo das relações métricas

A trigonometria no triângulo retângulo é o estudo sobre as relações métricas do triângulo retângulo, figura geométrica plana que possui um ângulo reto (90º) e dois ângulos agudos (menor que 90º).

Ao contrário do que se pensa, a trigonometria não restringe-se apenas ao triângulo retângulo. Essa área da matemática estuda, de modo geral, as relações entre os triângulos, figuras que podem ser classificadas em:

  • Triângulo equilátero: possui lados com medidas iguais;
  • Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais (congruentes) e diferente (base);
  • Triângulo escaleno: possui três lados com medidas diferentes;
  • Triângulo obtusângulo: possui um ângulo maior que 90°;
  • Triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90° (agudos).

Trigonometria no triângulo retângulo

A trigonometria no triângulo retângulo apropria-se de uma das figuras mais importantes da geometria. Isso porque, ela tem várias aplicações na vida prática, sendo estudada desde a Antiguidade, principalmente, pelos egípcios, gregos e babilônicos.

Tal figura possui três propriedades básicas:

  • Ângulos: um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares;
  • Lados: três lados (uma hipotenusa e dois catetos);
  • Altura: segmento que possui uma extremidade num vértice e outra no lado oposto ao vértice. Existem três alturas no triângulo retângulo, duas delas são os catetos e a outra é obtida com base na hipotenusa.

Por ter um ângulo reto, obrigatoriamente, os outros dois ângulos do triangulo retângulo são agudos, ou seja, medem menos que 90°. Em razão disso, as medidas dos ângulos agudos são consideradas complementares.

Por exemplo, dois ângulos que medem 46º e 44º são considerados complementares, pois 46º + 44º = 90º. Nesse caso, dizemos que o ângulo de 46º é o complemento do ângulo de 44º e vice-versa.

Trigonometria no triângulo retângulo figura
Triângulo retângulo. (Foto: Wikipédia)

Em relação aos lados do triângulo retângulo, eles são identificados da seguinte forma:

  • Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo de 90°;
  • Cateto adjacente: lado próximo ao ângulo de 90°;
  • Cateto oposto: lado contrário ao ângulo de 90°.

As relações métricas entres os lados dessa figura constituem um dos elementos mais importantes da trigonometria no triângulo retângulo, as chamadas razões trigonométricas:

Seno (sen): corresponde a divisão entre o cateto oposto e a hipotenusa, sendo representado por meio da seguinte fórmula:

Sen = cateto oposto/hipotenusa

Cosseno (cos): corresponde a divisão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, sendo representado por meio da seguinte fórmula:

Cos = cateto adjacente/hipotenusa

Tangente (Tg): corresponde a divisão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, sendo representado por meio da seguinte fórmula:

Tg = cateto oposto/cateto adjacente

Círculo trigonométrico

Ao falar de trigonometria no triângulo retângulo também é importante mencionar o círculo trigonométrico. Esse elemento é utilizado para representar graficamente as razões trigonométricas e auxiliar os cálculos.

O círculo possui como principal característica a simetria, sendo composto por um eixo vertical (seno) e um eixo horizontal (cosseno). Deste modo, as razões trigonométricas podem ser representadas em qualquer ponto da circunferência.

A partir do seno, cosseno e tangente, consideradas as razões trigonométricas básicas, são originadas as razões trigonométricas inversas:

A cotangente (cotg) é o inverso da tangente:

cotg = 1/tg  ou cos/sen

A secante (sec) é o inverso do cosseno:

sec = 1/cos

A cossecante (cossec) é o inverso do seno:

cossec = 1/sen

Aplicação

Trigonometria no triângulo retângulo
Triângulos. (Foto: Guia Estudo)

Para exemplificar os conceitos abordados em trigonometria no triângulo retângulo, observe a figura acima. O primeiro triângulo ABC, ao ser decomposto forma outros dois menores: ACD e ADB. A partir disso, podemos fazer as seguintes inferências: 

Triângulo Hipotenusa Cateto maior Cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m

Os dados da tabela podem ser entendidos como:

a/b = b/n = c/h

a/c = b/h = c/m

b/c = n/h = h/m

Consequentemente:

a/c = c/m corresponde a    c² = a.m

a/b = b/n  corresponde a    b² = a.n

a/c = b/h corresponde a a.h = b.c

h/m = n/h corresponde h² = m.n

Existem também outras relações métricas no triângulo ABC. Por exemplo, a=m+n, somado a c² com b², temos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²

A expressão anterior resume-se em a² = b² + c², ou seja, o Teorema de Pitágoras, que possui o seguinte enunciado:

“A soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.”

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

CAIUSCA, Alana. Trigonometria no triângulo retângulo; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/trigonometria-no-triangulo-retangulo >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 21:51.

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