Volume da Pirâmide

É a medida equivalente ao espaço total ocupado pela figura

O volume da pirâmide é a medida equivalente à capacidade da figura geométrica correspondente a um terço do volume de um prisma qualquer, tendo as bases e altura equivalentes.

Vale relembrar que a pirâmide é um dos tipos de poliedros constituído por uma base poligonal, com as faces laterais em formato triangular. A altura deste poliedro é definida pela distância entre o vértice até a sua base.

Duas pirâmides compostas por bases poligonais
As faces da pirâmide possuem formatos triangulares. (Foto: Pixabay)

Logo, de acordo com o formato da base, a pirâmide pode ser classificada de maneiras diferentes:

  • Triangular: nesse tipo de pirâmide triangular, a estrutura da sua base é formada por um triângulo. Nesse caso, o triângulo é também um tetraedro.
  • Quadrangular: a pirâmide quadrangular é formada em sua base por um paralelogramo.
  • Pentagonal: como o nome sugere, é uma pirâmide formada por um pentágono.
  • Hexagonal: uma pirâmide de base formada por um hexágono.
  • Reta: diferente dos tipos citados anteriormente, nesta pirâmide, a altura é perpendicular à sua base.
  • Oblíqua: é exatamente o inverso da reta, ou seja, a altura não é perpendicular à sua base.

Fórmula do volume da pirâmide

De aplicação simples, o volume da pirâmide é obtido por meio da fórmula expressa a seguir:

V = 1⁄3 . Ab . h

Onde:

V: é o volume da pirâmide a ser obtido;

Ab: é a área equivalente à base da pirâmide;

h: é a altura da pirâmide.

A área da base irá depender diretamente de qual tipo de pirâmide esteja descrita. Sendo uma pirâmide triangular, a fórmula da área da base é exatamente a fórmula da área do triângulo; sendo uma pirâmide de base quadrangular, a fórmula da área é a fórmula da área do paralelogramo, seguindo essa mesma lógica para outros formatos das suas respectivas bases.

Aplicação da fórmula

A partir dos exemplos é possível aprender como fazer a aplicação da fórmula do volume da pirâmide.

–> Exemplo 1: Encontre o volume de uma pirâmide regular com base hexagonal de altura 30 cm e aresta de base de 20 cm.

Resposta:

A princípio é necessário encontrar a área da base dessa pirâmide. Nesse exemplo, ela é um hexágono regular de lado l = 20 cm. Portanto,

Ab = 6 . l2 √3/4
Ab = 6 . 202 3/4
Ab = 600√3 cm2

Após encontrar esse valor, pode-se substituir o valor da área da base na fórmula do volume da pirâmide:

V = 1/3  Ab. h
V = 1/3 . 600√3 . 30
V = 6000 √3 cm3

–> Exemplo 2: Encontre o volume da pirâmide regular com 9 m de altura e base quadrada com perímetro de 8 m.

Resposta:

Importante perceber que o problema fala sobre perímetro de uma figura geométrica. Logo, entende-se como perímetro a soma de todos os lados de uma figura.

Tratando-se de um quadrado, cada lado tem medida de 2 m, uma vez que seus lados são paralelos e congruentes.

Logo, tem-se que a área da base é equivalente a:

Ab = 22 = 4 m

Substituindo os valores na fórmula, obtém-se:

V = 1/3 Ab. h
V = 1/3 4 . 9
V = 1/3 . 36
V = 36/ 3
V = 12 m3

–> Exemplo 3: Indique o volume da pirâmide de base quadrada em que a aresta da sua base mede 10 cm e a altura da pirâmide mede 9 cm.

Antes de encontrar o volume é necessário determinar a área da base da pirâmide. Como a base é quadrada, tem-se:

Ab = l2

Ab =102

Ab = 10 cm2

Depois de encontrar o valor da base é possível aplicar a fórmula do volume da pirâmide, usando a fórmula específica para isso:

V= 1/3. 100.9

V= 1/3. 900

V= 900/3

V= 300 cm3

Portanto, o volume da pirâmide é de 300 cm³.

Elementos da pirâmide

Uma pirâmide é constituída pelos seguintes elementos:

  • Arestas: as arestas da pirâmide ocorrem na base a nas suas faces laterais;
  • Faces laterais: as arestas laterais de uma pirâmide são responsáveis por formar suas faces triangulares;
  • Altura: a altura de uma pirâmide é determinada pela distância entre o vértice e a sua base poligonal;
  • Vértice: o vértice é um ponto qualquer que não pertence a base da pirâmide;
  • Apótema: dá-se este nome à altura da face de uma pirâmide.

Área da pirâmide

A área total de uma pirâmide qualquer é obtida por meio da fórmula a seguir:

AT = AB + AL

Em que:

AT: é a área total;

AB: é a área da base;

AL: é a área lateral.

A área da sua base, como mostrado nos exemplos anteriores, é calculada de acordo com o tipo de polígono que a constitui.

As faces, por sua vez, possuem formatos triangulares. Logo, para calcular a área da face usa-se a fórmula do triângulo, somando todas as faces que a pirâmide possui.

Desta maneira, a área será obtida por:

Al = A1 + A2 + A3 +, …, + An,

Onde:

A1 + A2 + A3 +, …, + An são as áreas das faces laterais.

Faça a referência deste conteúdo seguindo as normas da ABNT:

Neves, Juliete. Volume da Pirâmide; Guia Estudo. Disponível em

< https://www.guiaestudo.com.br/volume-da-piramide >. Acesso em 29 de janeiro de 2020 às 20:04.

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